数学 选择性必修第二册 配人教A版 1 故ao一10 a,=au+1=是+4x品-品 1.在数列{a}中，a1=1,a+1=2a,十2，设b.=2六 4.已知首项为-24的等差数列{a.},从第10项开始为正 数，则公差d的取值范围是 (1)证明：数列{b}是等差数列： (2)求数列{a.}的通项公式. 答案（停 (1)证明由已知a1=2a.十2，得b1=a= 解析a.=一24十(n-1)d, 产-兴十1=6+1.由于6，=a=1.国比6，足 则/口=-24+8d≤0， la1o=-24+9d>0, 得8<d≤3 2: 5.已知数列{a.}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b.} 首项为1，公差为1的等差数列. 是首项为一2，公差为4的等差数列.若a.=b.,则n的值 (2)解由(1)知数列{b.}的通项公式为b.=, 为 因为b.=2二，所以数列{a.}的通项公式为a,= 答案5 解析根据题意，可知am=2十(n一1)×3=3m一1， n·2-. bm=-2+(n-1)×4=4n-6, 拓展·提高 令a。=b。,得3n-1=4n一6，故n=5. 1.(多选题)下列通项公式所表示的数列中，是等差数列的 6.已知等差数列{an}:3,7,11,15,… 是(). (1)135,4m十19(m∈N”)是数列{am}中的项吗？请说明 Aa.=2 B.a,=8-3n 理由： C.a=loga7" D.a.=n2-3n (2)若apa,(p,q∈N")是数列{an}中的项，则2a。十3ag 答案ABC 是数列{a.}中的项吗？请说明理由. 解析由等差数列的定义可知，A项中的数列是公差为0 解由题意，可知等差数列{a.}的首项a1=3,公差d=4, 的等差数列：B项中的数列是公差为一3的等差数列：C项 则am=a1十(n-1)d=4n-1. 中的数列是公差为l0g7的等差数列：D项中的数列，由 (1)令a.=4n-1=135,得n=34, 故135是数列{a.}的第34项. 通项公式知，a1=一2，a2=-2,a3=0,而a2一a1≠ ag一a2,所以该数列不是等差数列. 令an=4n-1=4m十19，则n=m十5， =1,2=+1，则该 所以4m十19是数列{an}的第m十5项. 2.在数列(a.}中，若a1=1a:=立a-.a+2 (2)因为apag是数列{a.}中的项， 数列的通项公式为(). 所以ap=4p-1,ag=4g-1. A.d,=1 2 则2a。十3a,=2(4p-1)十3(4g-1)=8p+12g- B.a= n+1 5=4(2p+3g-1)-1,其中2p+3g-1∈N”, C.a. Da.-3 故2a。十3ag是数列{a.}的第2p十3g-1项. 7.已知数列{an}满足a1=10,a2=5,a。-aa+2=2,求数列 答案A {am}的通项公式. 解析2=+，1，得1-上=11 ,则数 解由a。一am+2=2知，数列{an}的奇数项和偶数项分别 an+l an an+2 an+l an an+2 an+1 构成公差为一2的等差数列. 列日}是首项为站-1，公美为。-2-1=1的学差 当n=2k-1(k∈N‘)时，2k=n十1，a2-1=a1十 a a2 a (k-1)·(-2)=12-2k, 数列，故上=，即a,=元 1 a. 故am=12-(n十1)=11-n(n为奇数). 3.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 当n=2k(k∈N")时，a=a2十(k-1)·(-2)= 上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5 5-2k十2=7-2k,故a.=7-n(n为偶数). 节的容积为 升. 7-n,n为偶数， 即a.= 答案需 11-n,n为奇数 挑战·创新 解析设此等差数列为{am},首项为a1,公差为d, 则ata:Fa,ta=3 4a1+6d=3, 在数列{am}中，已知a1=5,且an=2am-1十2"-1(n≥2). a7十a8十ag=4, 得 3a1+21d=4, (1)求a2ag的值； 13 a1= 221 (②是否存在实数1，使得数列)为等差数列？若存 解得 在，求出入的值：若不存在，请说明理由. 解(1)因为a1=5,所以a2=2a1十22-1=13，a3=2a2十 16
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 故a10= 1 10 . 11.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,设bn= an 2n-1. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由 已 知 an+1 =2an +2n,得bn+1 = an+1 2n = 2an+2n 2n = an 2n-1+1=bn+1.由于b1=a1=1,因此{bn}是 首项为1,公差为1的等差数列. (2)解 由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n, 因为bn= an 2n-1,所以数列{an}的通项公式为an = n·2n-1. 拓展 提高 1.(多选题)下列通项公式所表示的数列中,是等差数列的 是( ). A.an=2 B.an=8-3n C.an=log37n D.an=n2-3n 答案 ABC 解析 由等差数列的定义可知,A 项中的数列是公差为0 的等差数列;B项中的数列是公差为-3的等差数列;C项 中的数列是公差为log37的等差数列;D项中的数列,由 通项公式知,a1 = -2,a2 = -2,a3=0,而a2 -a1 ≠ a3-a2,所以该数列不是等差数列. 2.在数列{an}中,若a1=1,a2= 1 2 , 2 an+1 = 1 an + 1 an+2 ,则该 数列的通项公式为( ). A.an= 1 n B.an= 2 n+1 C.an= 2 n+2 D.an= 3 n 答案 A 解析 由 2 an+1 = 1 an + 1 an+2 ,得 1 an+1 - 1 an = 1 an+2 - 1 an+1 ,则数 列 1 an 是首项为 1 a1 =1,公差为 1 a2 - 1 a1 =2-1=1的等差 数列,故 1 an =n,即an= 1 n . 3.现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5 节的容积为 升. 答案 67 66 解析 设此等差数列为{an},首项为a1,公差为d, 则 a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4, 得 4a1+6d=3, 3a1+21d=4, 解得 a1= 13 22 , d= 7 66 , 故a5=a1+4d= 13 22 +4× 7 66 = 67 66 . 4.已知首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正 数,则公差d 的取值范围是 . 答案 8 3 ,3 解析 an=-24+(n-1)d, 则 a9=-24+8d≤0, a10=-24+9d>0, 解得 8 3 <d≤3. 5.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn} 是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n 的值 为 . 答案 5 解析 根据题意,可知an =2+ (n-1)×3=3n-1, bn=-2+(n-1)×4=4n-6, 令an=bn,得3n-1=4n-6,故n=5. 6.已知等差数列{an}:3,7,11,15,…. (1)135,4m+19(m∈N* )是数列{an}中的项吗? 请说明 理由; (2)若ap,aq(p,q∈N* )是数列{an}中的项,则2ap+3aq 是数列{an}中的项吗? 请说明理由. 解 由题意,可知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=4, 则an=a1+(n-1)d=4n-1. (1)令an=4n-1=135,得n=34, 故135是数列{an}的第34项. 令an=4n-1=4m+19,则n=m+5, 所以4m+19是数列{an}的第m+5项. (2)因为ap,aq 是数列{an}中的项, 所以ap=4p-1,aq=4q-1. 则2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q- 5=4(2p+3q-1)-1,其中2p+3q-1∈N* , 故2ap+3aq 是数列{an}的第2p+3q-1项. 7.已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2,求数列 {an}的通项公式. 解 由an-an+2=2知,数列{an}的奇数项和偶数项分别 构成公差为-2的等差数列. 当n=2k-1(k∈N* )时,2k=n+1,a2k-1=a1+ (k-1)·(-2)=12-2k, 故an=12-(n+1)=11-n(n为奇数). 当n=2k(k∈N* )时,a2k=a2+(k-1)·(-2)= 5-2k+2=7-2k,故an=7-n(n为偶数). 即an= 7-n,n为偶数, 11-n,n为奇数. 挑战 创新 在数列{an}中,已知a1=5,且an=2an-1+2n -1(n≥2). (1)求a2,a3 的值; (2)是否存在实数λ,使得数列 an+λ 2n 为等差数列? 若存 在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为a1=5,所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+ 16
第四章数列 23-1=33. 当入=-1时，a11一a.-1 (2)假设存在实数x,使得数列口，十入为等差数列， 2=2m[a1- 12 1 则中.，产成列 1)-2(a.-1]=2(a1-2a.+1)=2[(2a.+ 故2×-+，即8时-5 2×21=1 21-1)-2a.+1]= 22 2 2 2 8时解得X=-1 综上可知，存在实款入=-1，俊得数列但}为等 差数列. 第2课时等差数列的性质 素养·目标定位 目标素养 知识概览 等差数列的图象 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.借助等 等 差数列通项公式的推广学习，提升数据分析素养. 数 若+1=p+q,则a+an=0n+ag 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.通过等差 等差数列 若m+n=2k,则am+an=2ak 数列性质的学习，提升数学运算素养 的性质 a1+an=a2+0m-1=…=0k+0n-k+1=: 课前·基础认知 1.等差数列的图象 ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等 等差数列的通项公式为a.=a1十(n一l)d,当d=0时， 于首末两项的和，即a1十an=a2十a-1=…=a十 a.是一个固定的常数：当d≠0时，a.相应的函数是一次函 aw-+1=… 数：点(n,am)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上 (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数 的一系列孤立的点. 列仍为等差数列. 微思考由等差数列{a.}的通项公式可得公差d= (3)若{a.}是公差为d的等差数列，则 。二d-沿你能联系直线的斜率解释一下这两个 ①{c十an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； n一m ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列： 式子的几何意义吗？ ③(an十am+}(k为常数，k∈N')是公差为2d的等差 提示等差数列的通项公式可以变形为am=d十 数列 (a1一d),是关于n的一次函数，d为斜率，故由两，点(1，a1), (4)若{am},{b.}分别是公差为d1,d2的等差数列，则数 列{pan十gbn}(p,g是常数)是公差为pd1十gd2的等差 na)可得直线的斜率d=二，当两点为(n,a),(m 数列. am)时有d=a。一au (5)若{an}的公差为d,则d>0曰{am}为递增数列； n-m d<0曰{an}为递减数列；d=0曰{a.}为常数列. 欲训练D在等差数列{an}中，若as=6,ag=15,则 微训练2已知等差数列{a.}的公差为d(d≠0)，且 a14= aa十a6十a0十a13=32,若am=8,则m等于(). 答案33 A.8 B.4 C.6 D.12 解析设等差数列{a.}的公差为d,由题意得d= 答案A a8-a5_15-6 8-5=8-5=3.故a4=a十6d=15+18=3. 解析因为a3十a6十a10十aB=4a8=32,所以a8=8,即 m=8. 2.等差数列的性质 微珍断若{an}为等差数列，且m十n=p(m,n,p∈ (1){a.}是公差为d的等差数列，若正整数m,n,p,g N),则am十an=a。一定成立吗？ 满足m十n=p十q,则am十a.=ap十ag· 提示不一定.如常数列{am},1十2=3，而a1十a2= ①特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N“)时，am十a.=2a, 2a8 17
第四章 数列 23-1=33. (2)假设存在实数λ,使得数列 an+λ 2n 为等差数列, 则 a1+λ 2 , a2+λ 22 , a3+λ 23 成等差数列, 故2× a2+λ 22 = a1+λ 2 + a3+λ 23 ,即 13+λ 2 = 5+λ 2 + 33+λ 8 ,解得λ=-1. 当λ= -1 时, an+1-1 2n+1 - an-1 2n = 1 2n+1 [(an+1 - 1)-2(an-1)]= 1 2n+1 (an+1 -2an +1)= 1 2n+1 [(2an + 2n+1-1)-2an+1]= 1 2n+1×2n+1=1. 综上可知,存在实数λ=-1,使得数列 an+λ 2n 为等 差数列. 第2课时 等差数列的性质 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.借助等 差数列通项公式的推广学习,提升数据分析素养. 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.通过等差 数列性质的学习,提升数学运算素养. 课前·基础认知 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,当d=0时, an 是一个固定的常数;当d≠0时,an 相应的函数是一次函 数;点(n,an)分布在以 d 为斜率的直线上,是这条直线上 的一系列孤立的点. 微思考 由等差数列{an}的通项公式可得公差d= an-a1 n-1 ,d= an-am n-m ,你能联系直线的斜率解释一下这两个 式子的几何意义吗? 提示 等差数列的通项公式可以变形为an =nd+ (a1-d),是关于n的一次函数,d 为斜率,故由两点(1,a1), (n,an)可得直线的斜率d= an-a1 n-1 ,当两点为(n,an),(m, am)时有d= an-am n-m . 微训练 1 在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则 a14= . 答案 33 解析 设等差数列 {an}的公差为 d,由题意得 d= a8-a5 8-5 = 15-6 8-5 =3.故a14=a8+6d=15+18=33. 2.等差数列的性质 (1){an}是公差为d 的等差数列,若正整数m,n,p,q 满足m+n=p+q,则am+an= ap+aq . ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等 于首末两项的 和 ,即a1 +an =a2 +an-1 = … =ak + an-k+1=…. (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数 列仍为 等差 数列. (3)若{an}是公差为d 的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为 d 的等差数列; ②{can}(c为任一常数)是公差为 cd 的等差数列; ③{an+an+k}(k为常数,k∈N* )是公差为 2d 的等差 数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2 的等差数列,则数 列{pan+qbn}(p,q 是常数)是公差为 pd1+qd2 的等差 数列. (5)若{an}的公差为d,则d>0⇔{an}为 递增 数列; d<0⇔{an}为 递减 数列;d=0⇔{an}为常数列. 微训练 2 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m 等于( ). A.8 B.4 C.6 D.12 答案 A 解析 因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即 m=8. 微诊断 若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈ N* ),则am+an=ap 一定成立吗? 提示 不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2= 2a3. 17
数学 选择性必修 第二册 配人教A版 课堂·重难突破 等差数列性质的应用 解(1)设这三个数依次为a-d,a,a十d(公差为d), a=3, 典例剖析 a-d)+a十(a+d)=9解得 则 (a-d)a=6(a十d), d=-1. 1.(1)在等差数列{a.}中，已知a2=5,a8=17,求该数 故这三个数为4,3,2. 列的公差及通项公式 (2)(方法一)设这四个数为a一3d,a一d,a十d,a十3d (公差为2d), (2)已知数列{a.}是等差数列，且a1一a:十ag一a3十 a1n=117,求a4十a5的值 根据题意得 |2a=2 (a-3d)(a+3d)=-8 解(1)设等差数列{am}的公差为d,因为as=a2十 a=1, (8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 解得血1， d=1或d=-1. 因为am=a2十(n-2)d,所以am=5十(n-2)×2= 因为四个数成递增等差数列，所以d>0, 2m+1. 即d=1,故所求的四个数为一2,0,2,4， (2)因为在等差数列{a.}中，若m十n=p十g, (方法二)设这四个数为a,a十d,a十2d,a十3d(公差为 则am十an=ap十a,所以a1十an=a5十a13.由条件等 2a+3d=2, 式，得ag=117.故a3十a15=2ag=2×117=234 d),根据题意得 a(a+3d)=-8, 规律总结」1，利用通项公式时，若只有一个等式条件， 则可通过消元把所有的量用同一个量表示. d=-2. 2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质： 因为四个数成递增等差数列， 若m十n=p十q,则am十aw=ap十ag 所以d>0,即d=2,a=一2. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相 故所求的四个数为一2,0,2,4. 加，否则不一定成立.例如，一般情况下a5≠a,十a8,但 规律总结」常见设元技巧如下： a6十ag=a7十a8. (1)某两个数是等差数列中的连续两项且知其和，可 学以致用 设这两个数为a一d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和，可设这三个数为 1.(1)已知等差数列{an}中，a2十a4=6,则a1十a2十 a一d,a,a十d,公差为d: aa十a,十a5等于(). (3)四个数成等差数列且知其和，可设这四个数为 A.30 B.15 C.5√6 D.10√6 a-3d,a-da十d,a+3d,公差为2d. (2)设{an},{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2十 b2=100,则a7十bm等于( ). 学以致用 A.0 B.37 C.100 D.-37 2.已知四个数成等差数列，其和为26，第二个数与第三 答案(1)B(2)C 个数之积为40，求这个等差数列. 解析(1)由于数列{a.}为等差数列， 解设这四个数依次为a一3d,a-d,a十d,a十3d(公 则a1十a2十a8十a4十as=(a1十a5)十(a2十a4)十ag= 差为2d). 由题意知 I(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (2)设c.=a.十bn,由于{a.},{b.}都是等差数列， l(a-d)(a+d)=40. 则{c.}也是等差数列，且c1=a1十b1=25十75=100， 13 c2=a2十b2=100. a= 2 a= 2· 则等差数列{c.}的公差d=c2一c1=0. 解得 或 3 故cn=100,即a7十b37=100. d=2 =- 故这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 二灵活设元求解等差数列 三 等差数列的实际应用 典例剖析 2.(1)已知三个数成等差数列.其和为9，前两项之积为 典例剖析 最后一项的6倍，求这三个数 3.某市出租车的计价标准为1.2元/千米（不足1千米按 (2)已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首 1千米算)，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计 末两项的积为一8，求这四个数. 费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的 18
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 课堂·重难突破 一 等差数列性质的应用 典例剖析 1.(1)在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求该数 列的公差及通项公式. (2)已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+ a17=117,求a3+a15 的值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为a8 =a2+ (8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2= 2n+1. (2)因为在等差数列{an}中,若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq,所以a1+a17=a5+a13.由条件等 式,得a9=117.故a3+a15=2a9=2×117=234. 1.利用通项公式时,若只有一个等式条件, 则可通过消元把所有的量用同一个量表示. 2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质: 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相 加,否则不一定成立.例如,一般情况下a15≠a7+a8,但 a6+a9=a7+a8. 学以致用 1.(1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+ a3+a4+a5 等于( ). A.30 B.15 C.56 D.106 (2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+ b2=100,则a37+b37 等于( ). A.0 B.37 C.100 D.-37 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由于数列{an}为等差数列, 则a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3= 5a3= 5 2 (a2+a4)= 5 2 ×6=15. (2)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100, c2=a2+b2=100, 则等差数列{cn}的公差d=c2-c1=0. 故c37=100,即a37+b37=100. 二 灵活设元求解等差数列 典例剖析 2.(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为 最后一项的6倍,求这三个数. (2)已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首 末两项的积为-8,求这四个数. 解 (1)设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d), 则 (a-d)+a+(a+d)=9, (a-d)a=6(a+d), 解得 a=3, d=-1. 故这三个数为4,3,2. (2)(方法一)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d (公差为2d), 根据题意得 2a=2, (a-3d)(a+3d)=-8, 解得 a=1, d=1 或 a=1, d=-1. 因为四个数成递增等差数列,所以d>0, 即d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. (方法二)设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d),根据题意得 2a+3d=2, a(a+3d)=-8, 解得 a=-2, d=2 或 a=4, d=-2. 因为四个数成递增等差数列, 所以d>0,即d=2,a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4. 常见设元技巧如下: (1)某两个数是等差数列中的连续两项且知其和,可 设这两个数为a-d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和,可设这三个数为 a-d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和,可设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 学以致用 2.已知四个数成等差数列,其和为26,第二个数与第三 个数之积为40,求这个等差数列. 解 设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公 差为2d). 由题意知 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d)=40, 解得 a= 13 2 , d= 3 2 或 a= 13 2 , d=- 3 2 . 故这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 三 等差数列的实际应用 典例剖析 3.某市出租车的计价标准为1.2元/千米(不足1千米按 1千米算),起步价为10元,即最初的4千米(不含4千米)计 费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的 18
第四章数列 地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米 学以致用 时，每增加1千米，乘客需要颜外支付1.2元， 3.在通常情况下，从地面到10km的高空，高度每增加 则可以建立一个等差数列{a.}来计算车费】 1km,气温就下降某一个固定的数值.已知1km高度的气 令a1=11.2,表示4千米处的车费，公差d=1.2, 温是8.5℃，5km高度的气温是-17.5℃，求2km,4km, 那么当出租车行至14千米处时，n=11, 8km高度的气温. 此时am=11.2+(11-1)×1.2=23.2. 解用{a.}表示自下而上各高度气温组成的等差数列， 即需要支付车货23.2元. 设公差为d,则a1=8.5,a5=-17.5, 规律总结」1解决实际应用问题，首先要认真领会题 由a5=a1十4d=8.5+4d=-17.5, 解得d=-6.5,则an=15-6.51. 意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定 故a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高 量”增加或减少，则这组数成等差数列， 度的气温分别为2℃，一11℃，一37℃. 2.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关 键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键问题. 随堂训练 1.在等差数列{an}中，若a1十ag=10,则a5的值为( 5.已知等差数列{a.}中，a2十a6十a1o=1,则a4十ag= A.5 B.6 C.8 D.10 答案A 答案号 解析由等差数列的性质，得a1十ag=2a5, 解析根据等差数列的性质，可得a2十ao=a4十a8=2a6, 由a1十ag=10,即2as=10,得as=5. 由a2十a6十an=1,得3a6=1,即a6=3 2.在等差数列{am}中，若a1=2,a3十as=10,则a,等 2 于(). 故a,十ag=2a。=行 A.5 B.8 6.有一批小型电视机原销售价为800元/台，在甲、乙两家家 C.10 D.14 电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价 答案B 为780元，买两台单价都为760元，依此类推，每多买一台 解析由等差数列的性质，得a1十a,=ag十a,=l0, 则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于 因为a1=2,所以a7=8. 440元：乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一 3.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三 批此类小型电视机，问去哪家商场买花费较少」 个数的积为 解设该单位需购买小型电视机台， 答案一21 若在甲商场购买，则每台售价不低于440元，售价依 解析设这三个数为a一d,a,a十d(公差为d), 台数n成等差数列，设该数列为{am},首项为780，公差 则a-d+a+a+d=g, 为-20，即an=780+(1-1)(-20)=800-201, l(a-d)2+a2+(a+d)2=59. 解不等式am≥440，即800-20m≥440，得n≤18. 解得3， 成a=3,故这三个数为-13,7或7， 当购买台数小于等于18时，每台售价为(800一20m) d=4ld=-4. 元：当台数大于18时，每台售价为440元. 3,一1.则它们的积为一21. 到乙商场购买，每台售价为800×75%=600元. 4.若a,b,c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx十c的图 作差得(800-20m)n-600m=20m(10-n), 象与x轴的交点的个数为」 当n<10时，600m<(800一20m)n: 答案1或2 当n=10时，600m=(800一20m)n: 解析a,b,c成等差数列，∴.2b=a十c. 当10n18时，(800-20m)n<600m: .△=4h2-4ac=(a十c)2-4ac=(a-c)2≥0. 当n>18时，440n<600n. 故二次函数y=a.x2一2hr十c的图象与x轴的交点 即当购买台数少于10台时，到乙商场花贵较少：当购 个数为1或2. 买台数为10台时，到两商场购买花费相同：当购买台数多 于10台时，到甲商场购买花货较少 19
第四章 数列 地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费? 解 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4千米 时,每增加1千米,乘客需要额外支付1.2元, 则可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2,表示4千米处的车费,公差d=1.2, 那么当出租车行至14千米处时,n=11, 此时a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2. 即需要支付车费23.2元. 1.解决实际应用问题,首先要认真领会题 意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定 量”增加或减少,则这组数成等差数列. 2.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关 键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键问题. 学以致用 3.在通常情况下,从地面到10km 的高空,高度每增加 1km,气温就下降某一个固定的数值.已知1km 高度的气 温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km, 8km高度的气温. 解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列, 设公差为d,则a1=8.5,a5=-17.5, 由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5, 解得d=-6.5,则an=15-6.5n. 故a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km 高 度的气温分别为2℃,-11℃,-37℃. 随堂训练 1.在等差数列{an}中,若a1+a9=10,则a5 的值为( ). A.5 B.6 C.8 D.10 答案 A 解析 由等差数列的性质,得a1+a9=2a5, 由a1+a9=10,即2a5=10,得a5=5. 2.在等差数列 {an}中,若a1 =2,a3 +a5 =10,则a7 等 于( ). A.5 B.8 C.10 D.14 答案 B 解析 由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5=10, 因为a1=2,所以a7=8. 3.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三 个数的积为 . 答案 -21 解析 设这三个数为a-d,a,a+d(公差为d), 则 a-d+a+a+d=9, (a-d)2+a2+(a+d)2=59. 解得 a=3, d=4 或 a=3, d=-4. 故这三个数为-1,3,7或7, 3,-1.则它们的积为-21. 4.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图 象与x 轴的交点的个数为 . 答案 1或2 解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0. 故二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x 轴的交点 个数为1或2. 5.已知等差数列 {an}中,a2 +a6 +a10 =1,则a4 +a8 = . 答案 2 3 解析 根据等差数列的性质,可得a2+a10=a4+a8=2a6, 由a2+a6+a10=1,得3a6=1,即a6= 1 3 . 故a4+a8=2a6= 2 3 . 6.有一批小型电视机原销售价为800元/台,在甲、乙两家家 电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价 为780元,买两台单价都为760元,依此类推,每多买一台 则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于 440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一 批此类小型电视机,问去哪家商场买花费较少. 解 设该单位需购买小型电视机n台. 若在甲商场购买,则每台售价不低于440元,售价依 台数n成等差数列,设该数列为{an},首项为780,公差 为-20,即an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于等于18时,每台售价为(800-20n) 元;当台数大于18时,每台售价为440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%=600元. 作差得(800-20n)n-600n=20n(10-n), 当n<10时,600n<(800-20n)n; 当n=10时,600n=(800-20n)n; 当10<n≤18时,(800-20n)n<600n; 当n>18时,440n<600n. 即当购买台数少于10台时,到乙商场花费较少;当购 买台数为10台时,到两商场购买花费相同;当购买台数多 于10台时,到甲商场购买花费较少. 19
数学 选择性必修第二册 配人教A版 课后·训练提升 基础·巩固 6.在等差数列{an}中，若a2十a,十a6十ag十ao=80,则 1 1.下列说法中正确的是(). a,一2a,的值为 A若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列 答案8 B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差 解析根据题意，由a2十a4十a6十a8十ao=5a6=80,可得 数列 a6=16, C.若a,b,c成等差数列，则a十2，b十2，c十2成等差数列 1 1 D.若a,b,c成等差数列，则2,2,2成等差数列 2as=2(2a,一a8)2(a6+ag一as)9 故a7- 答案C 2a6=8. 解析因为a,b,c成等差数列，则2b=a十c, 所以2b十4=a十c十4， 7.在等差数列{an}中，已知a1,a9是函数f(x)=x2- 即2(b十2)=(a+2)十(c十2)， 10r十16的两个零点，则2a0十a0t十am= 所以a十2，b十2，c十2成等差数列. 2.若{an}是等差数列，且a1十a:十a,=45,a2十a5十as=39, 答案号 则ag十a6十ag等于(）. 解析由题意，知a1,a9是方程x2一10x十16=0的两根， A.39 B.20 则a1十a9=10. C.19.5 D.33 答案D 因为口.}是等差数列，所以4=1十0型=5， 2 解析由题意知，a1十a:十a,a2十a;十a8,aa十a6十ag成 5 5 25 等差数列，即aa十a6十ag=2(a2十a5十a8)-(a1十a,十 故宁0w十an+aw=20=号X5=空 a7)=33. 8.已知等差数列{an}为递减数列，且a2十a4=16,a1a5=28, 3.(多选题)在等差数列{a.}(公差d≠0)中，下列关系式不 则数列{a.}的通项公式为 成立的是(). 答案an=17-3n A.a1十ag=ag十a5 B.a2十a,=2a5 解析根据题意，知a2十a4=a1十a5=l6, C.a1十ag=2as D.a2-a1=as-a9 则/ta=16, 且a1>a5,解得a1=14,a5=2, 答案ABD a1a5=28, 4.设公差为-2的等差数列{am}中，如果a1十a,十a,十…十 故公差d=-3,a.=14-3(m-1)=17-3m. ag7=50,那么a3十a6十ag十…十ag等于( 9.在等差数列{am}中，若a1十a2十…十a5=30,a6十 A.-182 B.-78 a,十…十ao=80,求an十a2十…十a5. C.-148 D.-82 解（方法一）由等差数列的性质，得 答案D a1十a1=2a6,a2十a12=2a7,…,a5十a15=2a0 解析设等差数列{am}的公差为d,则aa十a6十ag十…十 则(a1十a2十十as)十(a1十a12十…十a15)= a=(a1+2d)+(a4十2d)+(a7十2d)+…+(am+ 2(as十a,十…十a1o). 2d)=(a1+a4+…+am)+2d×33=50+2×(-2)× 故an十a12十…十a5=2(a6十a7十…十a1o)-(a1十 33=-82. a2十…十a5)=2×80-30=130. 5.已知数列{an}为等差数列，且a1十a,十as=4r,则 (方法二)由于数列{am}是等差数列，则a1十 tan(a2十az)的值为( a2十…十a5,a6十a,十…十a0,an十a12十…十a15也成等 A.3 B.士 差数列，即30,80，au十a2十…十a15成等差数列，可得 c-9 30十(an十a12十…十a5)=2X80,故a1十a12+…十 D.-3 a15=130. 10.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第 答案D 二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年 解析由等差数列的性质，得a1十a7十aB=3a,=4π，即 减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也 a,=5 不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品 将亏损？ 8π 则tan(a2十az)=tan(2a?)=tan 3=tan 3 解设从第一年起，第n年的利涧为a。万元， 则a1=200,aw+1-am=-20(n∈N”), 即每年的利润构成一个等差数列{a.},公差为d, 20
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列说法中正确的是( ). A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2 成等差数列 B.若a,b,c 成等差数列,则log2a,log2b,log2c 成等差 数列 C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c 成等差数列 答案 C 解析 因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c, 所以2b+4=a+c+4, 即2(b+2)=(a+2)+(c+2), 所以a+2,b+2,c+2成等差数列. 2.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39, 则a3+a6+a9 等于( ). A.39 B.20 C.19.5 D.33 答案 D 解析 由题意知,a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成 等差数列,即a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+ a7)=33. 3.(多选题)在等差数列{an}(公差d≠0)中,下列关系式不 成立的是( ). A.a1+a8=a3+a5 B.a2+a7=2a5 C.a1+a9=2a5 D.a2-a1=a8-a9 答案 ABD 4.设公差为-2的等差数列{an}中,如果a1+a4+a7+…+ a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99 等于( ). A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 答案 D 解析 设等差数列{an}的公差为d,则a3+a6+a9+…+ a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+ 2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)× 33=-82. 5.已知数列 {an}为等差数列,且a1 +a7 +a13 =4π,则 tan(a2+a12)的值为( ). A.3 B.± 3 C.- 3 3 D.- 3 答案 D 解析 由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,即 a7= 4π 3 . 则tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan 8π 3 =tan 2π 3 =- 3. 6.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- 1 2 a8 的值为 . 答案 8 解析 根据题意,由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得 a6=16, 故a7- 1 2 a8= 1 2 (2a7-a8)= 1 2 (a6+a8-a8)= 1 2 a6=8. 7.在等差数列{an}中,已知a1,a99 是函数f(x)=x2 - 10x+16的两个零点,则 1 2 a50+a20+a80= . 答案 25 2 解析 由题意,知a1,a99 是方程x2-10x+16=0的两根, 则a1+a99=10. 因为{an}是等差数列,所以a50= a1+a99 2 =5, 故 1 2 a50+a20+a80= 5 2 a50= 5 2 ×5= 25 2 . 8.已知等差数列{an}为递减数列,且a2+a4=16,a1a5=28, 则数列{an}的通项公式为 . 答案 an=17-3n 解析 根据题意,知a2+a4=a1+a5=16, 则 a1+a5=16, a1a5=28, 且a1>a5,解得a1=14,a5=2, 故公差d=-3,an=14-3(n-1)=17-3n. 9.在等 差 数 列 {an}中,若 a1 +a2 + … +a5=30,a6+ a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15. 解 (方法一)由等差数列的性质,得 a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10. 则(a1 +a2 + … +a5)+ (a11 +a12 + … +a15)= 2(a6+a7+…+a10). 故a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+ a2+…+a5)=2×80-30=130. (方法 二)由 于 数 列 {an }是 等 差 数 列,则 a1 + a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15 也成等 差数列,即30,80,a11+a12+…+a15 成等差数列,可得 30+ (a11+a12+…+a15)=2×80,故a11 +a12 + … + a15=130. 10.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第 二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年 减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也 不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品 将亏损? 解 设从第一年起,第n年的利润为an 万元, 则a1=200,an+1-an=-20(n∈N* ), 即每年的利润构成一个等差数列{an},公差为d, 20