第四章 数列 (2)求am+a与a.的递推公式. 9281 解(1)由题意可得a2=pa1十q, 由②÷①，得ag=g=64 即p十q=3,a4=pa3+3g=p(pa2十2g)+3g= 1 5设数列{a,}满足a1十3a:十京a,十…十3a,=,则 p2a2十2p9+3g,即3p2+2pg+3g=13, a= 年t=a 答案(21-1)×3- lg=2. 图为p,9均为正数，所以p=1,9=2. 解析尚题意，数列a,}满足a1十子： 32a3+…+ (2)由(1)知am+1=am十2n,则au+2=am+1+2(n十 1 1)=(a.十2n)+2(n+1)=an十4n+2. 37a,=n2, 故amta=amt+2十2(n十2)=am十6n十6. 1 拓展·提高 (n-1)2. 1.已知数列{an}满足a.·a+1=3”,且a1=l,则数列{an}的 前9项和S,等于( 两式相减，得3a,=2-a-12=2-1, A.160 B.241 解得a.=(2m-1)X3"(n≥2)，当n=1时，a1=1 C.243 D.484 符合上式，故am=(2n-1)X3"-1 答案B 6.已知S.是数列{a.}的前n项和，且log(S.十1)=n十1， 解析因为a。·aw+1=3”,所以当n≥2时，am-1·am= 则数列{a.}的通项公式为 8,n=1, 3"-1,两式相除得a=3,因为a1=1,所以a1=3,a5=9, 答案an= aw-1 2×3",n≥2 a,=27,ag=81,由am·am+1=3",得a1·a2=3,则a2= 解析由log(S.十1)=n十1， 3,a,=9,a6=27,ag=81故Sg=1十2×(3+9+27+ 得S.十1=3+1， 81)=241. 当n=1时，a1十1=9，解得a1=8; 2.九连环是中国的一种古老的智力游戏，环环相扣，以解开 当n≥2时，an=S。-S-1=3t1-1-3十1=2X3", 为胜，趣味无穷.它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环 f8,n=1, 都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆 当n=1时，上式不成立，故a=2X3",m≥2 的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解 7.已知数列{a.}满足a1=3,am+1=2a。十1，写出数列的前 下或者套上，九连环游戏是按某种规则将九个环全部从框 6项并归纳出数列{a.}的通项公式. 架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动 解由于a1=3,am+1=2am十1， 的次数记为f(n)(n≤9，且n∈N”),已知f(1)=1, 则a2=2X3十1=7，a3=2×7+1=15, f(2)=1,且通过该规则可得f(n)=f(n-1)+2f(n- a,=2×15+1=31,a5=2×31+1=63, 2)十1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为( ). a6=2×63+1=127. A.7 B.16 由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127, C.19 D.21 可以看出，给每一项均加上1，就变成了 答案B a1+1=22,a2+1=2,aa十1=24， a,+1=2,a5+1=2,a6+1=2, 解析由题意可知f(3)=f(2)十2f(1)十1=1+2+1= 故可猜想出an十1=2t1,即a.=21-1. 4,f(4)=f(3)+2f(2)+1=4十2+1=7， f(5)=-f(4)+2f(3)+1=7十8+1=16. 挑战·创新 3.由1,3,5，…，2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1= 已知数列{a.}满足a1=m(m为正整数)，a+= 2,当n≥2时，b.=a-1则bs的值是() A.9 B.17 2a.为偶数， 若a4=4,求m所有可能的取值. C.33 D.65 3a。十1，am为奇数 答案C 解①若a为锅教，则号=-a,=4a,=8: 解析b.=a-1小b,=a=a,=3,b,=ag=a,=5, 若a3为奇数，则3a3十1=a4=4,a3=1. b,=ah3=a5=9,bs=a4,=ag=17,bs=a4g=a1n=33. 即aa=8或1. 4.已知数列{an}中，a1a2·…·a.=n2,则ag= ②当aa=8时： 省案引 若a:为偶数，则号=a:=8,a:=16: 解析a1a2a3·…·a8=82, ① 7 a1a2ag·…·ag=92, ② 若a:为奇数，则3a十1=a,=8,a2=3,与a:为奇 11
第四章 数列 (2)求an+3 与an 的递推公式. 解 (1)由题意可得a2=pa1+q, 即p+q=3,a4=pa3+3q=p(pa2+2q)+3q= p 2a2+2pq+3q,即3p 2+2pq+3q=13, 由 p+q=3, 3p 2+2pq+3q=13, 得 p=-4, q=7 或 p=1, q=2. 因为p,q均为正数,所以p=1,q=2. (2)由(1)知an+1=an+2n,则an+2=an+1+2(n+ 1)=(an+2n)+2(n+1)=an+4n+2. 故an+3=an+2+2(n+2)=an+6n+6. 拓展 提高 1.已知数列{an}满足an·an+1=3n,且a1=1,则数列{an}的 前9项和S9 等于( ). A.160 B.241 C.243 D.484 答案 B 解析 因为an·an+1=3n,所以当n≥2时,an-1·an= 3n-1,两式相除得 an+1 an-1 =3,因为a1=1,所以a3=3,a5=9, a7=27,a9=81,由an·an+1=3n,得a1·a2=3,则a2= 3,a4=9,a6=27,a8=81,故S9=1+2×(3+9+27+ 81)=241. 2.九连环是中国的一种古老的智力游戏,环环相扣,以解开 为胜,趣味无穷.它主要由九个圆环及框架组成,每个圆环 都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过,九个直杆 的另一端用平板或者圆环相对固定,圆环在框架上可以解 下或者套上.九连环游戏是按某种规则将九个环全部从框 架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动 的次数记为f(n)(n≤9,且n∈N* ),已 知f(1)=1, f(2)=1,且通过该规则可得f(n)=f(n-1)+2f(n- 2)+1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为( ). A.7 B.16 C.19 D.21 答案 B 解析 由题意可知f(3)=f(2)+2f(1)+1=1+2+1= 4,f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7, f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16. 3.由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1= 2,当n≥2时,bn=abn-1,则b6 的值是( ). A.9 B.17 C.33 D.65 答案 C 解析 ∵bn=abn-1,∴b2=ab1 =a2=3,b3=ab2 =a3=5, b4=ab3=a5=9,b5=ab4=a9=17,b6=ab5=a17=33. 4.已知数列{an}中,a1a2·…·an=n2,则a9= . 答案 81 64 解析 a1a2a3·…·a8=82, ① a1a2a3·…·a9=92, ② 由②÷①,得a9= 92 82= 81 64 . 5.设数列{an}满足a1+ 1 3 a2+ 1 32a3+…+ 1 3n-1an=n2,则 an= . 答案 (2n-1)×3n-1 解析 由题意,数列{an}满足a1 + 1 3 a2+ 1 32a3 + … + 1 3n-1an=n2, 当n≥2 时,a1 + 1 3 a2 + 1 32a3 + … + 1 3n-2an-1 = (n-1)2, 两式相减,得 1 3n-1an=n2-(n-1)2=2n-1, 解得an=(2n-1)×3n-1(n≥2),当n=1时,a1=1 符合上式,故an=(2n-1)×3n-1. 6.已知Sn 是数列{an}的前n 项和,且log3(Sn+1)=n+1, 则数列{an}的通项公式为 . 答案 an= 8,n=1, 2×3n,n≥2 解析 由log3(Sn+1)=n+1, 得Sn+1=3n+1, 当n=1时,a1+1=9,解得a1=8; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-1-3n+1=2×3n, 当n=1时,上式不成立,故an= 8,n=1, 2×3n,n≥2. 7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前 6项并归纳出数列{an}的通项公式. 解 由于a1=3,an+1=2an+1, 则a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15, a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63, a6=2×63+1=127. 由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127, 可以看出,给每一项均加上1,就变成了 a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24, a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27, 故可猜想出an+1=2n+1,即an=2n+1-1. 挑战 创新 已 知 数 列 {an }满 足 a1 =m (m 为 正 整 数),an+1 = an 2 ,an 为偶数, 3an+1,an 为奇数. 若a4=4,求m 所有可能的取值. 解 ①若a3 为偶数,则 a3 2 =a4=4,a3=8; 若a3 为奇数,则3a3+1=a4=4,a3=1. 即a3=8或1. ②当a3=8时: 若a2 为偶数,则 a2 2 =a3=8,a2=16; 若a2 为奇数,则3a2+1=a3=8,a2= 7 3 ,与a2 为奇 11
数学 选择性必修 第二册 配人教A版 数矛盾，故舍去 1 ③当a,=1时： 若a1为奇数，则3a1十1=a:=2,a1=3,与a1为奇 若a:为偶数，则号=0=1a:=2: 数矛盾，故舍去。 ⑤当a2=16时： 若a2为奇数，则3a2十1=a3=1,a2=0,与a2为奇数 矛盾，故舍去 若a1为偶数，则号=a,=16a1=32: 即a2=2或16. 若a1为奇数，则3a1十1=a2=16,a1=5. ④当a2=2时： 即a1=4或32或5. 若a1为偶数，则号-a:=2a1=4: 故m所有可能的取值为4,5,32. 4.2 等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时等差数列的概念及通项公式 素养·目标定位 目标素养 知识概览 等差数列的概念 1.理解等差数列的定义，掌握等差中项的概念，提 等差数列 升数学抽象素养 等差数列的公差 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列 的通项公式解决一些简单的问题，提升数学运 等差中项 算素养 等差数列 等差数列的通项公式：an=1+(-1)d 3.掌握等差数列的判定方法，提升逻辑推理素养， 等差数列与函数的关系 课前·基础认知 1等差数列的概念 答案a十b=2A 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 微挪究观察所给的两个数，在中间插入一个数使 一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差 三个数成为一个等差数列 数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 (1)2,4:(2)-1,5:(3)a,b:(4)0,0. d表示. 微思考等差数列的定义用符号怎么表示？ 提示(1)3(2)2(3)a+ 2 (4)0 提示an-a-1=d(n≥2，d为常数). 微训练2已知在△ABC中，三个内角A,B,C成等 微训练D已知等差数列{a.}的通项公式为a.= 差数列，则角B等于(. 3一2，则它的公差d为(）. A30° B.60° C.909 D.120° A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案B 答案C 解析因为A,B,C成等差数列， 解析由等差数列的定义，得公差d=a2一a1= 所以B是A,C的等差中项，则有A十C=2B! -1-1=-2. 又因为A+B+C=180°， 2.等差中项 所以3B=180°，得B=60° (1)条件：由三个数a,A,b组成的等差数列. 3.等差数列的通项公式 (2)结论：A叫做a与b的等差中项. 首项为a1,公差为d的等差数列{am}的通项公式为 (3)满足的关系式：
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 数矛盾,故舍去. ③当a3=1时: 若a2 为偶数,则 a2 2 =a3=1,a2=2; 若a2 为奇数,则3a2+1=a3=1,a2=0,与a2 为奇数 矛盾,故舍去. 即a2=2或16. ④当a2=2时: 若a1 为偶数,则 a1 2 =a2=2,a1=4; 若a1 为奇数,则3a1+1=a2=2,a1= 1 3 ,与a1 为奇 数矛盾,故舍去. ⑤当a2=16时: 若a1 为偶数,则 a1 2 =a2=16,a1=32; 若a1 为奇数,则3a1+1=a2=16,a1=5. 即a1=4或32或5. 故m 所有可能的取值为4,5,32. 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.理解等差数列的定义,掌握等差中项的概念,提 升数学抽象素养. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列 的通项公式解决一些简单的问题,提升数学运 算素养. 3.掌握等差数列的判定方法,提升逻辑推理素养. 课前·基础认知 1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前 一项 的差都等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差 数列,这个 常数 叫做等差数列的 公差 ,公差通常用字母 d 表示. 微思考 等差数列的定义用符号怎么表示? 提示 an-an-1=d(n≥2,d 为常数). 微训练 1 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3-2n,则它的公差d 为( ). A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案 C 解析 由 等 差 数 列 的 定 义,得 公 差 d =a2 -a1 = -1-1=-2. 2.等差中项 (1)条件:由三个数a,A,b组成的等差数列. (2)结论:A 叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式: . 答案 a+b=2A 微探究 1 观察所给的两个数,在中间插入一个数使 三个数成为一个等差数列. (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. 提示 (1)3 (2)2 (3) a+b 2 (4)0 微训练 2 已知在△ABC 中,三个内角A,B,C 成等 差数列,则角B 等于( ). A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 B 解析 因为A,B,C 成等差数列, 所以B 是A,C 的等差中项,则有A+C=2B. 又因为A+B+C=180°, 所以3B=180°,得B=60°. 3.等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d 的等差数列{an}的通项公式为 an= . 12
第四章数列 答案a1十(n-1)d 当n=1时，a1=a1十(1-1)d,符合上式， 微挪究2在等差数列{am}中，如果能用a1,公差d …am=a1十(n-l)d. 两个基本量表示a.,那么能否用数列{a.}中任意一项am和 微训练3若一个等差数列的前三项为a,2a一1， 公差d表示an? 3一a,则这个数列的通项公式为 提示由a.=a1十(n-1)d,① 答案a.=号+1 am=a1十(m-1)d,② 两式相减，得a。一am=(n一m)d, 解析设这个等差数列的公差为d, 则an=am十(n一m)d. 由题意，得a十(3-a)=2(2a-1D,解得a=5 4 微拓辰教材上推导等差数列的通项公式采用了不 完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ 即这个等是款到的商三项保次为号子 提示还可以用累加法，过程如下： 5 a2-a1=d, 故d=子a,-+a-10x-+1 ai-a:=d, 4.从函数角度认识等差数列{a.} as-a3=d, 由于am=a1十(n-l)d=dn+(a1-d),所以当d≠0 … 时，等差数列{a.}的第n项a,是一次函数f(x)=dx十 am-am-1=d(n≥2)， (a1一d)(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n).事实 将上述(n一1)个式子相加，得 上，公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,a.)组成的集 am-a1=(n-1)d(n≥2)， 合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx十(a1一d)上 .am=a1十(n-1)d(n≥2)， 课堂·重难突破 一 等差数列的通项公式及应用 即an=-23+(n-1)×4=4n-27. 令am=153,即4n-27=153,解得n=45∈N”, 典例剖析 故153是等差数列{an}的第45项. 1在等差数列{an}中，公差为d. 二等差中项 (1)若a5=-l,a8=2,求a1与d: (2)若a1十a6=12,a4=7,求ag. 典例剖析 解(1)由a,=-1,a=2,得a1十d=一1， 2.已知等差数列{a.}满足a2十aa十a,=18,a2aa,= la1+7d=2, 66,求数列{an}的通项公式. 解得a1=一5， 解设等差数列{a.}的公差为d, ld=1. a2十a3十a4=18,∴.3a3=18,a3=6. （2由已知得1十a十5d=12解得. a1+3d=7, ld=2. 又aa3a4=66ta4-12, a2a,=11, 则am=1十(n一1)×2=2m-1, 故ag=2×9-1=17. 年好-1 规律总结 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两 当/，11， 时，解得a1=16,d=-5,即am=a1十 la,=1 个最基本的元素，有关等差数列的问题，若条件与结论间 (n-1)d=16十(n-1)·(-5)=-5n+21: 的联系不明显，则均可化成有关a1,d的方程组求解，但 当/2=1， 是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. ，解得a1=一4，d=5, a4=11 即an=a1十(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9. 学以致用 规律总结「 1.已知等差数列{a.}中，a5=33,a61=217,试判断153 三个数a,b,c成等差数列的条件是b= 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ “空或2弘=a十(，此关系式可用来远行等差数列的判定 解设等差数列{an}的公差为d, 或用于解决有关等差中项的计算问题.如若证{am}为等 则an=a1十(n一1)d 差数列，则可证2am+1=am十am+2: 由已知得a:士15-1Dd=83,解得=-23. la1+(61-1)d=217, d=4. 13
第四章 数列 答案 a1+(n-1)d 微探究 2 在等差数列{an}中,如果能用a1,公差d 两个基本量表示an,那么能否用数列{an}中任意一项am 和 公差d 表示an? 提示 由an=a1+(n-1)d,① am=a1+(m-1)d,② 两式相减,得an-am=(n-m)d, 则an=am+(n-m)d. 微拓展 教材上推导等差数列的通项公式采用了不 完全归纳法,还有其他方法吗? 如何操作? 提示 还可以用累加法,过程如下: ∵a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, …… an-an-1=d(n≥2), 将上述(n-1)个式子相加,得 an-a1=(n-1)d(n≥2), ∴an=a1+(n-1)d(n≥2), 当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式, ∴an=a1+(n-1)d. 微训练 3 若一个等差数列的前三项为a,2a-1, 3-a,则这个数列的通项公式为 . 答案 an= n 4 +1 解析 设这个等差数列的公差为d. 由题意,得a+(3-a)=2(2a-1),解得a= 5 4 . 即这个等差数列的前三项依次为 5 4 , 3 2 , 7 4 , 故d= 1 4 ,an= 5 4 +(n-1)× 1 4 = n 4 +1. 4.从函数角度认识等差数列{an} 由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0 时,等差数列{an}的第n 项an 是一次函数f(x)=dx+ (a1-d)(x∈R)当x=n 时的函数值,即an=f(n).事实 上,公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集 合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上. 课堂·重难突破 一 等差数列的通项公式及应用 典例剖析 1.在等差数列{an}中,公差为d. (1)若a5=-1,a8=2,求a1 与d; (2)若a1+a6=12,a4=7,求a9. 解 (1)由a5=-1,a8=2,得 a1+4d=-1, a1+7d=2, 解得 a1=-5, d=1. (2)由已知得 a1+a1+5d=12, a1+3d=7, 解得 a1=1, d=2. 则an=1+(n-1)×2=2n-1, 故a9=2×9-1=17. 在等差数列{an}中,首项a1 与公差d 是两 个最基本的元素,有关等差数列的问题,若条件与结论间 的联系不明显,则均可化成有关a1,d 的方程组求解,但 是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量. 学以致用 1.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153 是不是这个数列的项,如果是,是第几项? 解 设等差数列{an}的公差为d, 则an=a1+(n-1)d. 由已知得 a1+(15-1)d=33, a1+(61-1)d=217, 解得 a1=-23, d=4. 即an=-23+(n-1)×4=4n-27. 令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N* , 故153是等差数列{an}的第45项. 二 等差中项 典例剖析 2.已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4= 66,求数列{an}的通项公式. 解 设等差数列{an}的公差为d, ∵a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6. 又a2a3a4=66,∴ a2+a4=12, a2a4=11, 解得 a2=11, a4=1 或 a2=1, a4=11. 当 a2=11, a4=1 时,解得a1 =16,d= -5,即an =a1 + (n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21; 当 a2=1, a4=11 时,解得a1=-4,d=5, 即an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9. 三个数a,b,c 成等差数列的条件是b= a+c 2 或2b=a+c,此关系式可用来进行等差数列的判定 或用于解决有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等 差数列,则可证2an+1=an+an+2. 13
数学■ 选择性必修第二册 配人教A版 学以致用 44 am一1 2.若m和2m的等差中项为4,2m和n的等差中项为 b+2-2(an+1-2 24-4-2）a.-2 5,求m和n的等差中项. 解由m和2n的等差中项为4，得m十2n=8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m十n=10. 则6-2改之 -2×2a.-2= 0,即b.十b+2=2b+1,故数列{b.}是等差数列. 两式相加，得m十n=6. 即m和n的等差中项为”士=3 规律总结」判断一个数列是否为等差数列的常用方法 如下： 三等差数列的判定与证明 (1)am+1一am=d(d为常数)台{an}是等差数列： (2)2aa+1=an十am+2台{am}是等差数列； 典例剖析 (3)am=kn十b(k,b为常数)台{a.}是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出 3.已知数列{am}满足a1=4,am=4 4 (n>1),设 个反例即可. an-1 6,=1 一a.一2求证：数列6}是等差数列 学以致用 证明（方法一：定义法）》 3已知日石2成等老数列，并且a十ca-ca+ 1 b+1 1 a1-2 --2 2(a.-2 c-2b均为正数，求证：lg(a十c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也 成等差数列. 1 a。-21 b+1-b.=20a.-2a.-22a.-2)-2 证明1,11 a·6成等差数列， 又b1= 1 1-2-2 a 数列}是首项为宁公差为的等差数列 2-at,即2ac=6a+e, b ac (方法二：等差中项法) 则(a十c)(a十c-2b)=(a十c)2-2b(a十c)= 1 (a+c)2-2X2ac=a2+c2+2ac-Aac=(a-c)2. b.-a.-2 a十c,a十c一2b,a-c均为正数，上式左右两边同时 1 1 取常用对数，得lg[(a十c)(a十c一2b)门=lg(a一c)2, …bt1= am+1-2 (4-4)-2 2(an-2) 即lg(a十c)+lg(a十c-2b)=2g(a-c), a ∴.lg(a十c),lg(a-c),lg(a十c-2b)成等差数列. 随堂训练 1.若数列{an}满足3am+1=3a.十1，则数列{an}是( 解析因为2am+1一2a.=1,a1=2,所以数列{a.}是首项 A.公差为1的等差数列 B公差为号的等差数列 a1=2,公差d=乞的等差数列，所以am=a1十100d= 2+10×号=52 C公差为一3的等差数列 3.若a≠b,则等差数列a,x1,x2b的公差是( D.公差为一1的等差数列 A.b-a 答案B c n 解析由3au+1=3am十1，得3am+1一3an=1,即aw+1- 答案C 1 解析设等差数列的公差为d, a.=3 由等差数列的通项公式，得b=a十(4-1)d,即d= 故数列a}是公差为行的等差数列。 b-a 3 2.在数列{am}中，若a1=2,2am+1一2an=1,则ao1的值 4.已知等差数列1，一1，一3，一5，…，一89，则它的项数 为(). 是(. A.52 B.51 C.50 D.49 A.92 B.47 C.46 D.45 答案A 答案C 14
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 学以致用 2.若m 和2n的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为 5,求m 和n的等差中项. 解 由m 和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m 和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得m+n=6. 即m 和n的等差中项为 m+n 2 =3. 三 等差数列的判定与证明 典例剖析 3.已知数列{an}满足a1=4,an=4- 4 an-1 (n>1),设 bn= 1 an-2 .求证:数列{bn}是等差数列. 证明 (方法一:定义法) ∵bn+1= 1 an+1-2 = 1 4- 4 an -2 = an 2(an-2) , ∴bn+1-bn= an 2(an-2)- 1 an-2 = an-2 2(an-2)= 1 2 . 又b1= 1 a1-2 = 1 2 , ∴数列{bn}是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列. (方法二:等差中项法) ∵bn= 1 an-2 , ∴bn+1= 1 an+1-2 = 1 4- 4 an -2 = an 2(an-2) , ∴bn+2= an+1 2(an+1-2)= 4- 4 an 24- 4 an -2 = an-1 an-2 . 则bn+bn+2-2bn+1= 1 an-2 + an-1 an-2 -2× an 2(an-2)= 0,即bn+bn+2=2bn+1,故数列{bn}是等差数列. 判断一个数列是否为等差数列的常用方法 如下: (1)an+1-an=d(d 为常数)⇔{an}是等差数列; (2)2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列; (3)an=kn+b(k,b为常数)⇔{an}是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一 个反例即可. 学以致用 3.已知 1 a , 1 b , 1 c 成等差数列,并且a+c,a-c,a+ c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也 成等差数列. 证明 ∵ 1 a , 1 b , 1 c 成等差数列, ∴ 2 b = 1 a + 1 c , ∴ 2 b = a+c ac ,即2ac=b(a+c), 则(a+c)(a+c-2b)= (a+c)2 -2b(a+c)= (a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2. ∵a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时 取常用对数,得lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2, 即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c), ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 随堂训练 1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是( ). A.公差为1的等差数列 B.公差为 1 3 的等差数列 C.公差为- 1 3 的等差数列 D.公差为-1的等差数列 答案 B 解析 由3an+1=3an +1,得3an+1-3an =1,即an+1- an= 1 3 . 故数列{an}是公差为 1 3 的等差数列. 2.在数列{an}中,若a1=2,2an+1-2an =1,则a101 的值 为( ). A.52 B.51 C.50 D.49 答案 A 解析 因为2an+1-2an=1,a1=2,所以数列{an}是首项 a1=2,公差d= 1 2 的等差数列,所以a101=a1+100d= 2+100× 1 2 =52. 3.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是( ). A.b-a B. b-a 2 C. b-a 3 D. b-a 4 答案 C 解析 设等差数列的公差为d. 由等差数列的通项公式,得b=a+(4-1)d,即d= b-a 3 . 4.已知等差数列 1,-1,-3,-5,…,-89,则它的项数 是( ). A.92 B.47 C.46 D.45 答案 C 14
第四章数列 解析由题意可知，等差数列的公差d=一1一1=一2， 即an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3m. 设-89为第n项，则-89=1+(m-1)d=1+(n-1)· 6.已知数列{an}中，a1=a2=1,a.=an-1十2(n≥3)，判断数 (-2),解得n=46. 列{a}是否为等差数列，并说明理由. 5.已知数列{an}中，a1=3,a.=a-1十3(n≥2)，则am= 解因为an=a-1十2(n≥3)，所以am一a。-1=2. 又≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都 答案3m 等于同一个常数2， 解析因为当n≥2时，am一a-1=3, 而a2一a1=0≠ag一a2,故数列{an}不是等差数列. 所以{a.}是首项a1=3,公差d=3的等差数列. 课后·训练提升 基础·巩固 ag<0. 6.若5，x,y,z,21成等差数列，则x十y十z的值为( 1.已知数列{am}的通项公式为am=2n十5，则此数列 A.26 B.29 C.39 D.52 是(). 答案C A.公差为2的等差数列 解析，5，xy,z,21成等差数列， B.公差为5的等差数列 ∴y既是5和21的等差中项，也是x和z的等差 C.首项为5的等差数列 中项， D.公差为n的等差数列 .5十21=2y,.y=13,x十x=2y=26, 答案A x+y+z=39. 解析由题意，可知a+1-an=2(n十1)十5-(2n十5)= 2,a1=2×1十5=7，故{an}是首项为7，公差为2的等差 7.已知一个等差数列的前4项是a,工，b,2x,则号等 数列 于( 2.在等差数列{a.}中，若a2=4,a=2,则a6等于( A.-1 B.0 C.1 D.6 A号 B.2 c号 D号 答案B 答案C 解析设等差数列{am}的公差为d, 解析b是工，2x的等差中项，6=1十2=3 21*aat-心 2 又x是a,b的等差中项，2x=a十h∴a=受， 3.在数列{an}中，若a1=1,at1-an=2,则a1的值 为(). A99 B.49 C.102 D.101 答案D 8.√2-1与√2+1的等差中项是 解析由题意可知{am}是首项a1=l,公差d=2的等差数 答案厄 列，故a1=a1十50d=101. 解析设等差中项为a,则有2a=(√2-1)十（√反十1）= 4.已知数列{an}满足a1=2,a+1一an十1=0，则数列{a.}的 2√2，得a=2. 通项公式a.等于( ). 9.在等差数列{an}中，若aa=7,a5=a2十6，则a6= A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案13 答案D 解析设等差数列{a.}的公差为d, 解析由题意，可得am+1一am=一l,即数列{am}是公差d 则a5-a2=3d=6,则a6=ag十3d=7+6=13. 为-1的等差数列，故am=a1十(n-1)d=2十(n-1)X 10.已知数列{a.}中，a1=1,a。-1一am=am·aa-1(n≥2)，则 (-1)=3-n. a0= 5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( 1 A第7项 B.第8项 答案 C.第9项 D.第10项 解析由题意，可知an≠0，由于数列{am}满足am-1一 答案B 解析根据题意，可知首项a1=20,公差d=一3，故a.= a,=a.·a1(n≥2)，则1-1 a。a。-1 =1(n≥2)，故数列 20+(a-1DX(-3)=23-3,由a.<0.得n>号中 日}是等差数列，公差为1，首项为1，即。=1十9=10， a10 15
第四章 数列 解析 由题意可知,等差数列的公差d=-1-1=-2, 设-89为第n 项,则-89=1+(n-1)d=1+(n-1)· (-2),解得n=46. 5.已知数列{an}中,a1=3,an =an-1+3(n≥2),则an = . 答案 3n 解析 因为当n≥2时,an-an-1=3, 所以{an}是首项a1=3,公差d=3的等差数列. 即an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n. 6.已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3),判断数 列{an}是否为等差数列,并说明理由. 解 因为an=an-1+2(n≥3),所以an-an-1=2. 又n≥3,所以从第3项起,每一项减去前一项的差都 等于同一个常数2, 而a2-a1=0≠a3-a2,故数列{an}不是等差数列. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知数列 {an}的通项公式为an =2n+5,则 此 数 列 是( ). A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 答案 A 解析 由题意,可知an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)= 2,a1=2×1+5=7,故{an}是首项为7,公差为2的等差 数列. 2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6 等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d, 则有 a1+d=4, a1+3d=2, 得 a1=5, d=-1, 故a6=a1+5d=0. 3.在数 列 {an}中,若a1 =1,an+1 -an =2,则a51 的 值 为( ). A.99 B.49 C.102 D.101 答案 D 解析 由题意可知{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数 列,故a51=a1+50d=101. 4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0,则数列{an}的 通项公式an 等于( ). A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案 D 解析 由题意,可得an+1-an=-1,即数列{an}是公差d 为-1的等差数列,故an=a1+(n-1)d=2+(n-1)× (-1)=3-n. 5.等差数列20,17,14,11,…中第一个负数项是( ). A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 答案 B 解析 根据题意,可知首项a1=20,公差d=-3,故an= 20+(n-1)×(-3)=23-3n,由an<0,得n> 24 3 ,即 a8<0. 6.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为( ). A.26 B.29 C.39 D.52 答案 C 解析 ∵5,x,y,z,21成等差数列, ∴y既是5和21的等差中项,也是x 和z 的等差 中项, ∴5+21=2y,∴y=13,x+z=2y=26, ∴x+y+z=39. 7.已知 一 个 等 差 数 列 的 前 4 项 是 a,x,b,2x,则 a b 等 于( ). A. 1 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 答案 C 解析 ∵b是x,2x 的等差中项,∴b= x+2x 2 = 3x 2 , 又x 是a,b的等差中项,∴2x=a+b,∴a= x 2 , ∴ a b = 1 3 . 8.2-1与 2+1的等差中项是 . 答案 2 解析 设等差中项为a,则有2a=(2-1)+(2+1)= 22,得a= 2. 9.在 等 差 数 列 {an}中,若 a3 =7,a5 =a2 +6,则 a6= . 答案 13 解析 设等差数列{an}的公差为d, 则a5-a2=3d=6,则a6=a3+3d=7+6=13. 10.已知数列{an}中,a1=1,an-1-an=an·an-1(n≥2),则 a10= . 答案 1 10 解析 由题意,可知an ≠0,由于数列{an}满足an-1- an=an·an-1(n≥2),则 1 an - 1 an-1 =1(n≥2),故数列 1 an 是等差数列,公差为1,首项为1,即 1 a10 =1+9=10, 15