第四章数列 从而am=a1十(n-1)d=200+(n-1)×(-20)= 5.若等差数列{am}满足a+1十am=4n一3，则数列{a.n}的通 220-20m. 项公式为 若am<0,则该公司经销这一产品将亏损. 5 则由a.=220-20m<0,得n>11, 答案a.=2n-2 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损。 解析由题意得ae+1十am=4n一3， ① 拓展·提高 aw+2十aw+1=4n十l, 由②-①，得awt2一an=4. 1.已知等差数列{am}满足a1十a2十aa十…十a01=0,则 由于{am}是等差数列，设公差为d,即d=2, 有(). A.a1十a1o1>0 B.a2十a1o1<0 因为a1十a2=1,所以a1十a1十d=1,则a1=-2 C.a8十a99=0 D.a51=51 故a,=2n-号 答案C 解析根据等差数列的性质，得a1十a1o1=a2十a1w=…= 6.已知{a.}是等差数列，a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间 插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列， a50十a2=2a1,因为a1十a2十ag十…十ao1=0,所以 求： a51=0. (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ 即ag十a9=2a51=0,故选C (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 2.若方程(x2-2x十m)(x2-2x十n)=0的四个根组成一 解因为在等差数列{am}中，a1=2,a2=3,公差d= 个首项为4的等差数列，则m-π川等于(. a2-a1=3-2=1,所以a.=a1十(n-1)d=2+(n-1)X c司 1=n十1. A.1 设新等差数列为{b.},公差为d',根据题意，知b1= 答案C 2,h5=3,则d'=b-b=3-2=1 5-1-4-4 解析设方程的四个根a1a2,a3,a:依次成等差数列，则 a1十a4=a2十a3=2, 甲6，=2+a-10x7-号+号 设此等差数列的公差为d,则2a1十3d=2,由a1= .7 得d= 1 1加a=12+1=13,令+子=13，得m=45, 故原数列的第12项是新数列的第45项」 1 5 1 3 即a=十2=aF+14a十甲7 =9,令n十1=9，得n=8, 故m-=a,aa,}x-x引=号 故新数列的第29项是原数列的第8项. 3.在数列{am}中，a1=3,且对任意大于1的正整数n,点 挑战·创新 (√a。,√a-)在直线x-y-3=0上，则数列{an}的通 已知数列{an}的所有项均为正数，且a1=1,am+1一 项公式为am= V√anti=a.十√aw 答案3m2 (1)数列{√a。}是否为等差数列？请说明理由： 解析由题意知√a。一√aw-1=3(n≥2)， (2)求am 即{√a。}是首项为5，公差为v5的等差数列. 解(1)数列{√a}是等差数列. 得√/an=√5+(n-1)5=n5,故a.=3n2. 理由如下：aut一√a+i=aw十√am, 4已知数列a.}满足a1=1,若点()在直线x ∴amt1-an=√a+i+√am,∴.（√ati+√an): y十1=0上，则a.= (√anti-√an)=√ati+√am 答案n2 ,数列{an}的所有项均为正数，∴.√a+i十√an≠ 解析由题意了得号-带十1=0，即骨一-1，即 0,∴.√a+i-an=1,∴数列{√am}是等差数列，公差 n+1 n 为1. 数列侣}是以1为公差的等差数列，且首项为1，故孩数 (2)由(1)知{√am}是等差数列，且公差d=1, 则√am=√a+(n-1)Xd=1+(n-1)X1=n, 列的通项公式为=，得an=n2. 即a.=n2. 71 21
第四章 数列 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)= 220-20n. 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. 则由an=220-20n<0,得n>11, 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损. 拓展 提高 1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则 有( ). A.a1+a101>0 B.a2+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 答案 C 解析 根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…= a50+a52=2a51,因为a1 +a2 +a3 +…+a101 =0,所以 a51=0. 即a3+a99=2a51=0,故选C. 2.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一 个首项为 1 4 的等差数列,则|m-n|等于( ). A.1 B. 3 4 C. 1 2 D. 3 8 答案 C 解析 设方程的四个根a1,a2,a3,a4 依次成等差数列,则 a1+a4=a2+a3=2, 设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2,由a1= 1 4 ,得d= 1 2 , 即a2= 1 4 + 1 2 = 3 4 ,a3= 1 4 +1= 5 4 ,a4= 1 4 + 3 2 = 7 4 , 故|m-n|=|a1a4-a2a3|= 1 4 × 7 4 - 3 4 × 5 4 = 1 2 . 3.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点 ( an , an-1 )在直线x-y- 3=0上,则数列{an}的通 项公式为an= . 答案 3n2 解析 由题意知 an - an-1 = 3(n≥2), 即{ an }是首项为 3,公差为 3的等差数列. 得 an = 3+(n-1)3=n 3,故an=3n2. 4.已知数列{an}满足a1=1,若点 an n , an+1 n+1 在直线xy+1=0上,则an= . 答案 n2 解析 由题意可得 an n - an+1 n+1 +1=0,即 an+1 n+1 - an n =1,即 数列 an n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故该数 列的通项公式为 an n =n,得an=n2. 5.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则数列{an}的通 项公式为 . 答案 an=2n- 5 2 解析 由题意得an+1+an=4n-3, ① an+2+an+1=4n+1, ② 由②-①,得an+2-an=4. 由于{an}是等差数列,设公差为d,即d=2. 因为a1+a2=1,所以a1+a1+d=1,则a1=- 1 2 . 故an=2n- 5 2 . 6.已知{an}是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间 插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列, 求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项? 解 因为在等差数列 {an}中,a1 =2,a2 =3,公差 d= a2-a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)× 1=n+1. 设新等差数列为{bn},公差为d',根据题意,知b1= 2,b5=3,则d'= b5-b1 5-1 = 3-2 4 = 1 4 , 即bn=2+(n-1)× 1 4 = n 4 + 7 4 . (1)a12=12+1=13,令 n 4 + 7 4 =13,得n=45, 故原数列的第12项是新数列的第45项. (2)b29= 29 4 + 7 4 =9,令n+1=9,得n=8, 故新数列的第29项是原数列的第8项. 挑战 创新 已知 数 列 {an}的 所 有 项 均 为 正 数,且a1=1,an+1 - an+1 =an+ an . (1)数列{ an }是否为等差数列? 请说明理由; (2)求an. 解 (1)数列{ an }是等差数列. 理由如下:∵an+1- an+1 =an+ an , ∴an+1-an= an+1 + an ,∴( an+1 + an )· ( an+1 - an )= an+1 + an . ∵数列{an}的所有项均为正数,∴ an+1 + an ≠ 0,∴ an+1 - an =1,∴数列{ an }是等差数列,公差 为1. (2)由(1)知{ an }是等差数列,且公差d=1, 则 an = a1 +(n-1)×d=1+(n-1)×1=n, 即an=n2. 21
数学 选择性必修第二册 配人教A版 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和公式 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.掌握等差数列的前n项和公式及其获取思路.借助等差 数列的前n项和公式的推导，提升数据分析素养. S= n(a +a) 等差数列的 2 2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,am,S.的关系，能 前n项和公式 够由其中三个求另外两个，提升数学运算素养 等差数 S=na+n(n-1d 2 3已知数列{a,}的前n项和公式求通项公式，提升逻辑推 列的前 理和数学运算素养」 n项和 a1,d,n,anSn中“知三求二” 4.能灵活应用等差数列前项和的性质解题，提升逻辑推 理素养 等差数列前项和的性质 课前·基础认知 1.等差数列的前n项和公式 3.等差数列{a.}的前n项和S。的性质 已知量 首项、第n项与项数 首项、公差与项数 在等差数列{an}中，其前n项和为S。,则{a.}中连 S.=n(a1+a) S.=na+(nDd 性质1 续的n项和构成的数列S。,S2n一-S。,Sm 求和公式 2 2 S2m,Sw一S”…构成等差数列 微思看如何由S.=a十a,得出S.=a,十 若等差数列{a.}的项数为21，则S2n=n(am十 2 ”。山，这两个公式有什么区别与联系？ a+1),5a-S春=ndS S=a+中(S春≠0)： 性质2 若等差数列{an}的项数为2n一1，则S2-= 提示S.=nata.2_n[a十a,+(m-1d] (2n-1)a.(an是数列的中间项)，S奇-S%=am, 2 2 =a1十 aCn Dd.ndnDd S4-n-1(5≠0) Sn 2 2 这两个公式都是用来求等差数列{a.}的前n项和的，在 性质3 a.}为等差数列→S 为等差数列 求解时都可以“知三求一”，求S.时，都需知a1,n,不同在于 前者还需知a,后者还需知公差d. 性质4 数列{an}是等差数列台S。=an2十bm(a,b为 2.a1,d,n,am,S。中“知三求二” 常数) (1)在等差数列{a.}中，a.=a1十(n-1)d,Sn= 微拓展若{an}是公差为d的等差数列，则a1十 nata或S.=a1十n2-D。 -d. a2十aa,a4十a5十a6,a,十ag十ag是不是等差数列？如果是， 2 2 公差是多少？ 两个公式共涉及a1,d,n,a.及Sn五个基本量，它们分 提示因为(a4十a5十a6)-(a1十a2十a3)=(a4-a1)十 别表示等差数列的首项、公差、项数、第n项和前n项和. (as-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知 (a,+as十ag)-(a,十a5+a6)=(a,-a,)+(ag- 其中三个量可求另外两个量，即“知三求二” a5)+(ag-a6)=3d+3d+3d=9d, 所以a1十a2十aa,a4十a十a6,a,十as十ag是公差为9d 的等差数列. 22
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 4.2.2 等差数列的前n 项和公式 第1课时 等差数列的前n 项和公式 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.掌握等差数列的前n 项和公式及其获取思路.借助等差 数列的前n项和公式的推导,提升数据分析素养. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn 的关系,能 够由其中三个求另外两个,提升数学运算素养. 3.已知数列{an}的前n 项和公式求通项公式,提升逻辑推 理和数学运算素养. 4.能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题,提升逻辑推 理素养. 课前·基础认知 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、第n项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= n(a1+an) 2 Sn=na1+ n(n-1) 2 d 微思考 如何由 Sn = n(a1+an) 2 得出 Sn=na1 + n(n-1)d 2 ? 这两个公式有什么区别与联系? 提示 Sn= n(a1+an) 2 = n[a1+a1+(n-1)d] 2 =na1+ n(n-1)d 2 ,即Sn=na1+ n(n-1)d 2 . 这两个公式都是用来求等差数列{an}的前n项和的,在 求解时都可以“知三求一”,求Sn 时,都需知a1,n,不同在于 前者还需知an,后者还需知公差d. 2.a1,d,n,an,Sn 中“知三求二” (1)在 等 差 数 列 {an}中,an =a1 + (n-1)d,Sn = n(a1+an) 2 或Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 两个公式共涉及a1,d,n,an 及Sn 五个基本量,它们分 别表示等差数列的首项、公差、项数、第n项和前n项和. (2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知 其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”. 3.等差数列{an}的前n项和Sn 的性质 性质1 在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连 续的n 项和构成的数列Sn,S2n -Sn ,S3n - S2n,S4n-S3n ,…构成等差数列 性质2 若等差数列{an}的项数为2n,则S2n =n(an+ an+1),S偶 -S奇 =nd, S偶 S奇 = an+1 an (S奇 ≠0); 若等差 数 列 {an }的 项 数 为 2n-1,则 S2n-1 = (2n-1)an(an 是数列的中间项),S奇 -S偶 =an, S偶 S奇 = n-1 n (S奇 ≠0) 性质3 {an}为等差数列⇒ Sn n 为等差数列 性质4 数列{an}是等差数列 ⇔Sn =an2 +bn(a,b 为 常数) 微拓展 若{an}是公差为d 的等差数列,则a1+ a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 是不是等差数列? 如果是, 公差是多少? 提示 因为(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+ (a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8- a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d, 所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 是公差为9d 的等差数列. 22
第四章数列 课堂·重难突破 等差数列的前n项和公式的基本运算 二由数列{an}的前n项和Sn求am 典例剖析 典例剖析 1.在等差数列{an}中，公差为d. (1)若a5十a0=58,a,十a=50,求S1o: 2已知数列a,}的前n项和为S.=m+2,求这个数 (2)若S,=42,S.=510,a-4=45,求n. 列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项 解(1)（方法一）由已知条件得 与公差分别是什么？ a:十ao=2atl3d=58解得=3 解根据Sn=a1十a2十…十am-1十am a4十ag=2a1+11d=50, d=4. 则Sm-1=a1十a2十…十am-1(n≥2)， 故50=10a1+10X0-Dd=10x3+10X9×4= 2 2 当n≥2时，a,=S.-S1=+7-[(m-1)2+ 210. (方法二)由已知条件得 2a-1]=2n- a;十a1o=(a1十ao)+4d=58, 当n=1时，a1=S1=12+ as+as=(a+ano)+2d=50, X1=号满上 1 即a1十a1o=42, 1 故数列{a.}的通项公式为a.=2n一2 故S。=10(a十an）-5X42=210, 2 由a:-a.=2u+10-号-(2n-2）=2, (2)因为S,=7a1十a) 2 =7a4=42,即a4=6, 故数列是以号为首项：2为公差的等差数列， 所以s.=na1十a)_na,+a2_n(6十45)=510. 2 2 故n=20. 规律总结」已知数列a}的前n项和S。求通项公式， 先由n=1时，a1=S1求得a1,再由n≥2时，a。= 规律总结a1,d,n称为等差数列{a,}的三个基本量， S.一S-l求得an,最后验证a1是否符合an的公式，若 am和S。都可以用这三个基本量来表示.五个量a1,d,n, 符合，则统一用一个式子表示，若不符合，则分段表示. am,S。中可“知三求二”，即等差数列{an}的通项公式及 前项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公 学以致用 式和前n项和公式联立方程（组）来求解.这种方法是解 2.已知数列{a.}的前n项和S.=一2n2十n十2. 决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知 (1)求数列{an}的通项公式： 与未知的联系及整体思想的运用. (2)判断数列{a.}是否为等差数列. 学以致用 解(1)由于Sn=-2n2十n十2，则当n≥2时，S。-1= -2(n-1)2+(n-1)十2=-2m2+5n一1，即a。=S。- 1已知等差数列{an}的公差为d. S。-1=(-2m2+n十2)-(-2n2+5m-1)=-4n+3: 若a1=号as=-2s=-5求n和d: 当n=1时，a1=S1=1,不满足an=-4n十3， 1,n=1, (2)若a1=4,S。=172,求as和d. 故数列{a.}的通项公式是an= -4n十3，n≥2. 解（由as=名+(15-1d=-2 (2)由(1)知，当n≥2时， 得d=-合由S.=a1+0二D.d=-5. a+1-am=[-4(n+1)+3]-(-4n十3)=-4， 2 但a2-a1=-5-1=-6≠-4， 解得n=15或n=一4（舍去）. 故数列{a.}不满足等差数列的定义，不是等差数列。 （2由题意，得S。=8a1十a_84+a)-172, 三 等差数列前n项和的性质 2 2 解得ag=39,由a8=4十(8-1)d=39,得d=5. 典例剖析 3.(1)已知等差数列{a.}的前m项和为30，前2m项和 为100，求数列{a.}的前3m项的和Sm: (2)两个等差数列{a.},{bn}的前n项和分别为S。和 23
第四章 数列 课堂·重难突破 一 等差数列的前n项和公式的基本运算 典例剖析 1.在等差数列{an}中,公差为d. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解 (1)(方法一)由已知条件得 a5+a10=2a1+13d=58, a4+a9=2a1+11d=50, 解得 a1=3, d=4. 故S10=10a1+ 10×(10-1) 2 d=10×3+ 10×9 2 ×4= 210. (方法二)由已知条件得 a5+a10=(a1+a10)+4d=58, a4+a9=(a1+a10)+2d=50, 即a1+a10=42, 故S10= 10(a1+a10) 2 =5×42=210. (2)因为S7= 7(a1+a7) 2 =7a4=42,即a4=6, 所以Sn= n(a1+an) 2 = n(a4+an-3) 2 = n(6+45) 2 =510, 故n=20. a1,d,n称为等差数列{an}的三个基本量, an 和Sn 都可以用这三个基本量来表示.五个量a1,d,n, an,Sn 中可“知三求二”,即等差数列{an}的通项公式及 前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公 式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解 决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知 与未知的联系及整体思想的运用. 学以致用 1.已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a1= 5 6 ,a15=- 3 2 ,Sn=-5,求n和d; (2)若a1=4,S8=172,求a8 和d. 解 (1)由a15= 5 6 +(15-1)d=- 3 2 , 得d=- 1 6 .由Sn=na1+ n(n-1) 2 ·d=-5, 解得n=15或n=-4(舍去). (2)由题意,得S8= 8(a1+a8) 2 = 8(4+a8) 2 =172, 解得a8=39,由a8=4+(8-1)d=39,得d=5. 二 由数列{an}的前n项和Sn 求an 典例剖析 2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+ 1 2 n,求这个数 列的通项公式.这个数列是等差数列吗? 如果是,它的首项 与公差分别是什么? 解 根据Sn=a1+a2+…+an-1+an, 则Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2), 当n≥2时,an=Sn -Sn-1=n2+ 1 2 n- (n-1)2+ 1 2 (n-1) =2n- 1 2 ; 当n=1时,a1=S1=12+ 1 2 ×1= 3 2 ,满足上式. 故数列{an}的通项公式为an=2n- 1 2 . 由于an+1-an=2(n+1)- 1 2 - 2n- 1 2 =2, 故数列{an}是以 3 2 为首项,2为公差的等差数列. 已知数列{an}的前n项和Sn 求通项公式, 先由n=1 时,a1 =S1 求得a1,再 由n≥2 时,an = Sn-Sn-1 求得an,最后验证a1 是否符合an 的公式,若 符合,则统一用一个式子表示,若不符合,则分段表示. 学以致用 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}是否为等差数列. 解 (1)由于Sn=-2n2+n+2,则当n≥2时,Sn-1= -2(n-1)2+(n-1)+2= -2n2+5n-1,即 an =Sn - Sn-1=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)=-4n+3; 当n=1时,a1=S1=1,不满足an=-4n+3, 故数列{an}的通项公式是an= 1,n=1, -4n+3,n≥2. (2)由(1)知,当n≥2时, an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4, 但a2-a1=-5-1=-6≠-4, 故数列{an}不满足等差数列的定义,不是等差数列. 三 等差数列前n项和的性质 典例剖析 3.(1)已知等差数列{an}的前m 项和为30,前2m 项和 为100,求数列{an}的前3m 项的和S3m; (2)两个等差数列{an},{bn}的前n 项和分别为Sn 和 23
数学 选择性必修第二册 配人教A版 不已晓：-特本号的放 `b5 学以致用 解(1)（方法一）在等差数列{an}中， 3.设数列{am}为等差数列，S.为数列{am}的前n项和， 由于Sm,S2m一Sm,Sm一S2m成等差数列， 已知S,=7,S6=75,T,为数列的前n项和，求T 即30,70，Sm一100成等差数列. 故2X70=30十(Sm-100),得Sm=210. 解设等差数列{an}的公差为d, (方法二)在等是数列中，三，气成等差教列。 'm'2m'3m 则S.=a1+2(n-1)d, 则2S=S+S 由S,=7,S1s=75,得 7a1+21d=7, 2m m 3m 15a1十105d=75, 即Sn=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 9(a1+ag) 即/t3d=1, 2(a:ta,) 1 a1+7d=5, (2)a= 2 =7X9+2 bs 1 261+b) 9(b1+b,) 9+3 解得，2， 2 d=1. 65 2 则2-a+a-1=7-号 2n-2 规律总结」在解题过程中适当运用等差数列前n项和 ---x1- n+1n =-2 S.的有关性质，可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍 故教列侣}是等差数列，其首项为一2，公差为号 的效果 2 随堂训练 1.已知等差数列{a.}满足a1=1,am=99,公差d=2,则其 答案A 前m项和Sm等于(）. 解析设等差数列{an}的公差为d, A.2300 B.2400 则a5十a6十a,十ag=S8-S4=12,(a5十as十a,十 C.2600 D.2500 as)-S,=16d, 答案D 解析根据题意，由am=a1十(m-1)d, 解好d子。 得99=1+(m-1)×2, 故an十a12十aB十a14=S4十40d=l8. 解得m=50, 4.已知等差数列{a.}共有2n十1项，所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之和为120，则n= 故50=50X1+50X49×2=250. 2 答案10 2.设等差数列{a.}的前n项和为S。,若S2=4,S,=20,则该 解析因为等差数列共有2n十1项， 数列的公差d等于(). St1 A.2 B.3 所以S4-Sa=a1-2n干 C.6 D.7 即132-120=132+120 答案B 2m+11 解得n=10. S2=2a1十d=4, 解析（方法一）由 5.已知数列{a.}满足a1十2a2十…十a.=n(n十1)·(n十 S4=4a1+6d=20, 2),则数列{an}的通项公式为a.= 解得d=3. 答案3(n十1) (方法二)因为S4-S2=as十a:=a1十2d十a2十 解析由a1十2a2十…十an=n(n十1)(n十2)，① 2d=S2+4d, 当n≥2时，得a1十2a2十…十(n-1)am-1=(n- 所以20-4=4+4d. 1)·n(n+1),② 解得d=3. 由①-②，得nam=n(n+1)(n十2)-(n-1)n(n十 3.设等差数列{a.}的前n项和为S.,若S,=8,Ss=20,则 1)=n(n十1)[(n+2)-(n-1)]=3m(n+1), an十a12十aa十a4等于(. 故am=3(n十1)(n≥2). A.18 B.17 当n=1时，a1=1×2×3=6也适合上式， C.16 D.15 故a,=3(n十1). 24
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 Tn,已知 Sn Tn = 7n+2 n+3 ,求 a5 b5 的值. 解 (1)(方法一)在等差数列{an}中, 由于Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, 即30,70,S3m-100成等差数列. 故2×70=30+(S3m-100),得S3m=210. (方法二)在等差数列中, Sm m , S2m 2m , S3m 3m 成等差数列, 则 2S2m 2m = Sm m + S3m 3m , 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. (2) a5 b5 = 1 2 (a1+a9) 1 2 (b1+b9) = 9(a1+a9) 2 9(b1+b9) 2 = S9 T9 = 7×9+2 9+3 = 65 12 . 在解题过程中适当运用等差数列前n项和 Sn 的有关性质,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍 的效果. 学以致用 3.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前n项和, 已知S7=7,S15=75,Tn 为数列 Sn n 的前n项和,求Tn. 解 设等差数列{an}的公差为d, 则Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d, 由S7=7,S15=75,得 7a1+21d=7, 15a1+105d=75, 即 a1+3d=1, a1+7d=5, 解得 a1=-2, d=1. 则 Sn n =a1+ 1 2 (n-1)d= 1 2 n- 5 2 , 且 Sn+1 n+1 - Sn n = 1 2 , S1 1 = 1 2 ×1- 5 2 =-2, 故数列 Sn n 是等差数列,其首项为-2,公差为 1 2 , 即Tn=n×(-2)+ n(n-1) 2 × 1 2 = 1 4 n2- 9 4 n. 随堂训练 1.已知等差数列{an}满足a1=1,am =99,公差d=2,则其 前m 项和Sm 等于( ). A.2300 B.2400 C.2600 D.2500 答案 D 解析 根据题意,由am=a1+(m-1)d, 得99=1+(m-1)×2, 解得m=50, 故S50=50×1+ 50×49 2 ×2=2500. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该 数列的公差d 等于( ). A.2 B.3 C.6 D.7 答案 B 解析 (方法一)由 S2=2a1+d=4, S4=4a1+6d=20, 解得d=3. (方法二)因为S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2 + 2d=S2+4d, 所以20-4=4+4d, 解得d=3. 3.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S4=8,S8=20,则 a11+a12+a13+a14 等于( ). A.18 B.17 C.16 D.15 答案 A 解析 设等差数列{an}的公差为d, 则a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+ a8)-S4=16d, 解得d= 1 4 , 故a11+a12+a13+a14=S4+40d=18. 4.已知等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之和为120,则n= . 答案 10 解析 因为等差数列共有2n+1项, 所以S奇 -S偶 =an+1= S2n+1 2n+1 , 即132-120= 132+120 2n+1 , 解得n=10. 5.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)·(n+ 2),则数列{an}的通项公式为an= . 答案 3(n+1) 解析 由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),① 当n≥2时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n- 1)·n(n+1),② 由①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+ 1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1), 故an=3(n+1)(n≥2). 当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式, 故an=3(n+1). 24
第四章数列 6.在等差数列{am}中，公差为d. 即3(a1十10)=15，得a1=-5d=aa=3. (1)若a6=10,S5=5,求ag; 5 2若a:+a,-号求s 即a8=ag十2d=16. 解(1)（方法一），a6=10,S5=5, (2)(方法-)：a2十a4=a1+d+a1+3d=4 a+21= 解得a一5， s,=5a1+10d=5a1+24)=5x号=2L d=3. (方法二)，a2十a4=a1十a5, 即ag=a6十2d=16. (方法二)：S6=S十a6=15, in to l5=6(a1十a) 5(a1十a5)5、48 2 .S5= 2 课后·训练提升 基础·巩固 5.已知{an}是公差d=1的等差数列，S。为数列{a.}的前n 项和，若S8=4S4,则a0等于( 1在等差数列{an}中，若a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项 和S等于( A号 B号 C.10 D.12 A.7 B.15 C.20 D.25 答案B 答案B 解析设等差数列{am}的公差为d, 解析由题意，可知S。=81十8X7d=8a,1十28.S,= 则有atd引：得-1. a+3=a1+6 a1+3d=5,d=2, 因为S8=4S4,即8a1十28=4(4a1十6)，所以a1= 故5，=5a,+5=15 1 9 ,所以ao=a1十9d=2 2.已知等差数列{a.}的前n项和S.=n2+5m,则公差d等 6.(多选题)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为S.,满 于(). 足a1十3a2=S6,则下列选项中正确的有( A.I B.2 C.5 D.10 A.a7=0 B.S13=0 答案B C.S,最小 D.S;=Ss 解析a1=S1=6,a1十a2=S2=14,a2=8, 答案ABD ∴.d=a2-a1=2. 解析根据题意，设等差数列{an}的公差为d, 3.已知{a.}是等差数列，a1=10,前10项和So=70,则其公 差d等于( 对于A,若a1十3a:=S,则u+3d=6a1+65a. A-号 1 C.3 D. 2 3 变形可得a1十6d=0,即a,=0,故A正确： 答案A 对于B5n-1Sa=1a,=0,故BE角： 2 解析因为S1o=10a1十 10×9 2 d=70,a1=10, 对于C,S,=7a十a=7a4,可能大于0，也可能小 2 所以d=一导 于0，故C不正确： 4.设等差数列{an}的前n项和为S.,若Sa=9,S6=36,则 对于D.s,-5=(a+54a）-(a+8a）= a十as十ag等于( -3a1-18d=-3a7=0,故D正确. A63 B.45 C.36 D.27 7.在等差数列{a.}中，如果a1十a2十a3=一24，a1s十a19十 答案B a=78,那么此数列的前20项和为( ）. 解析由于a,十ag十ag=S,一S6,而由等差数列的性质， A.160 B.180 可知S,S6-Sa,Sg-S6构成等差数列，故Sa十(S, C.200 D.220 S6)=2(S6-Sg),即a7十a8十ag=Sg-S6=2S6-3S3= 答案B 2×36-3×9=45. 解析由题意可知a1十a2十a3=3a2=-24,得a2=-8, 由a18十a13十an=3a19=78,得a19=26, 25
第四章 数列 6.在等差数列{an}中,公差为d. (1)若a6=10,S5=5,求a8; (2)若a2+a4= 48 5 ,求S5. 解 (1)(方法一)∵a6=10,S5=5, ∴ a1+5d=10, 5a1+10d=5, 解得 a1=-5, d=3. 即a8=a6+2d=16. (方法二)∵S6=S5+a6=15, ∴15= 6(a1+a6) 2 . 即3(a1+10)=15,得a1=-5,d= a6-a1 5 =3. 即a8=a6+2d=16. (2)(方法一)∵a2+a4=a1+d+a1+3d= 48 5 , ∴a1+2d= 24 5 . ∴S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5× 24 5 =24. (方法二)∵a2+a4=a1+a5, ∴a1+a5= 48 5 . ∴S5= 5(a1+a5) 2 = 5 2 × 48 5 =24. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在等差数列{an}中,若a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项 和S5 等于( ). A.7 B.15 C.20 D.25 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d, 则有 a1+d=1, a1+3d=5, 得 a1=-1, d=2, 故S5=5a1+ 5×4 2 d=15. 2.已知等差数列{an}的前n 项和Sn=n2+5n,则公差d 等 于( ). A.1 B.2 C.5 D.10 答案 B 解析 ∵a1=S1=6,a1+a2=S2=14,∴a2=8, ∴d=a2-a1=2. 3.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公 差d 等于( ). A.- 2 3 B.- 1 3 C. 1 3 D. 2 3 答案 A 解析 因为S10=10a1+ 10×9 2 d=70,a1=10, 所以d=- 2 3 . 4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( ). A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B 解析 由于a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质, 可知S3,S6-S3,S9-S6 构成等差数列,故S3+(S9- S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3= 2×36-3×9=45. 5.已知{an}是公差d=1的等差数列,Sn 为数列{an}的前n 项和,若S8=4S4,则a10 等于( ). A. 17 2 B. 19 2 C.10 D.12 答案 B 解析 由题意,可知S8 =8a1 + 8×7 2 d=8a1 +28,S4= 4a1+ 4×3 2 d=4a1+6. 因为S8=4S4,即8a1+28=4(4a1+6),所以a1= 1 2 ,所以a10=a1+9d= 19 2 . 6.(多选题)已知数列{an}是等差数列,其前n 项和为Sn,满 足a1+3a2=S6,则下列选项中正确的有( ). A.a7=0 B.S13=0 C.S7 最小 D.S5=S8 答案 ABD 解析 根据题意,设等差数列{an}的公差为d, 对于 A,若a1+3a2=S6,则4a1+3d=6a1+ 6×5 2 d, 变形可得a1+6d=0,即a7=0,故 A正确; 对于B,S13= 13(a1+a13) 2 =13a7=0,故B正确; 对于C,S7= 7(a1+a7) 2 =7a4,可能大于0,也可能小 于0,故C不正确; 对于D,S5-S8= 5a1+ 5×4 2 d - 8a1+ 8×7 2 d = -3a1-18d=-3a7=0,故D正确. 7.在等差数列{an}中,如果a1+a2+a3=-24,a18+a19+ a20=78,那么此数列的前20项和为( ). A.160 B.180 C.200 D.220 答案 B 解析 由题意可知a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8, 由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26, 25