数学 选择性必修第二册 配人教A版 解折载列宁，号子专一的道项公式方，=升 n 挑战·创新 9447 9624 9849 0.94=100-500.96=100-25,0.98=100-50,0.99= 已知数列{a,}的通项公式为a.=9m-9n十2 9m2-1 器中尝锡器都在数到(}中该有3个 (1)求证：该数列是递增数列： 2",n是奇数， (2在区间（合号）内有设有数列a,冲的项？若有，有 5.已知数列{an}的通项公式是a.= +2n是偶数.则 几项？若没有，请说明理由. 1 1)证明：a.=9n-+2=3m-13m-2= 9n2-1 ag十 (3n-1)(3m+1) as 答案号 子-1 3m+13n十1 解析由题意，知a,=2=,a 1 16 =8a-1+27-7 a-a.--3a+l-(-)- 即117 a16,故aa ,119 (3m十1)(3m十④>0，数列{a,}是递增数列. 9 a16 _3n-22 6.已知数列{a.}中，an=n2-kn,且数列{a}为递增数列，求 (2)解令<a,3干号 实数k的取值范围。 7 n>- 解因为am+1=(n十1)2-k(n十1)，a.=n2-kn, 则十1二6”解得 6 即 8 所以am+1-an=(n+1)2-k(n十1)-n2+kn=2n十 9m-6<6m十2， 8 <n<3,即当 1-k. 由于数列{an}为递增数列，故应有amt1一a.>0, 且仅当=2时，上式或主，故在区间（停》内有数别 即2n十1一k>0恒成立，分离变量得k<2十1 4 故k<3即可，故k的取值范围为（一∞，3）. {a.}中的项，且只有一项，为a2=7 第2课时数列的递推公式及前项和 素养·目标定位 目标素养 知识概览 数列的递推 公式的概念 1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研 数列递推公式与 究数列，提升数学抽象核心素养 通项公式的关系 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数 中 由数列的递推公 累加法 列的前几项，提升逻辑推理核心素养」 式求通项公式的 3.会应用前n项和公式求通项公式，提升逻辑相 推 方法 累乘法 理与数学运算核心素养。 4.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式，提 数列的前n项和定义 升逻辑推理核心素养 数列的前n项和 通过数列的前n项和 求通项公式： a=5=, lSm-Sm-1,n≥2 6
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 解析 数列 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…的通项公式为an = n n+1 , 0.94= 94 100 = 47 50 ,0.96= 96 100 = 24 25 ,0.98= 98 100 = 49 50 ,0.99= 99 100 ,即 24 25 , 49 50 , 99 100 都在数列 n n+1 中,故有3个. 5.已知数列{an}的通项公式是an= 2-n,n是奇数, 1 1+2-n,n是偶数, 则 a3+ 1 a4 = . 答案 19 16 解析 由题意,知a3=2-3= 1 8 ,a4= 1 1+2-4= 16 17 , 即 1 a4 = 17 16 ,故a3+ 1 a4 = 19 16 . 6.已知数列{an}中,an=n2-kn,且数列{an}为递增数列,求 实数k的取值范围. 解 因为an+1=(n+1)2-k(n+1),an=n2-kn, 所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+ 1-k. 由于数列{an}为递增数列,故应有an+1-an>0, 即2n+1-k>0恒成立,分离变量得k<2n+1, 故k<3即可,故k的取值范围为(-∞,3). 挑战 创新 已知数列{an}的通项公式为an= 9n2-9n+2 9n2-1 . (1)求证:该数列是递增数列; (2)在区间 1 3 , 2 3 内有没有数列{an}中的项? 若有,有 几项? 若没有,请说明理由. (1)证明 ∵an = 9n2-9n+2 9n2-1 = (3n-1)(3n-2) (3n-1)(3n+1)= 3n-2 3n+1 = 3n+1-3 3n+1 =1- 3 3n+1 , ∴an+1 -an = 1- 3 3(n+1)+1 - 1- 3 3n+1 = 9 (3n+1)(3n+4)>0,∴数列{an}是递增数列. (2)解 令 1 3 <an= 3n-2 3n+1 < 2 3 , 则 3n+1<9n-6, 9n-6<6n+2, 解得 n> 7 6 , n< 8 3 , 即 7 6 <n< 8 3 ,即当 且仅当n=2时,上式成立,故在区间 1 3 , 2 3 内有数列 {an}中的项,且只有一项,为a2= 4 7 . 第2课时 数列的递推公式及前n 项和 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.理解数列的几种表示方法,能用函数的观点研 究数列,提升数学抽象核心素养. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数 列的前几项,提升逻辑推理核心素养. 3.会应用前n 项和公式求通项公式,提升逻辑推 理与数学运算核心素养. 4.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式,提 升逻辑推理核心素养. 6
第四章数列 课前·基础认知 1.递推公式 a+1=am十f(n)或at1=g(n)·an,则可以通过累加法或 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 累乘法求得通项公式. 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式， (1)累加法：当a。=a。-1十f(n)时，常用am=(a。 微思考仅由数列{a.}的递推公式a.=a.-1十2(n≥ aw-1)十(a。-1-a-2)十…十(a2一a1)十a1求通项公式. 2)就能确定这个数列吗？ (2)累乘法：当2=g(n)时，常用a,=· 提示不能.数列的递推公式是由相邻两项或几项的递 an-1 d-1 推关系确定的，如果只有递推公式而无首项或前几项，那么 a=..2·a1求通项公式。 这个数列是不能确定的 Qw-2 3.数列的前n项和 微训练下列数列符合递推公式an=√2a。-1(n≥2) 我们把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称 的是() 为数列{a.}的前n项和，记作S。,即S.=a1十a2十…十 A1,2,3,4,… aa.如果数列{an}的前n项和Sm与它的序号n之间的对应 B.1,2,2,22,… 关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 C.2,22,2,… 前n项和公式.显然S1=a1,而S。-1=a1十a2十…十am-i D.0,√2,2,2√2，… (n≥2)，因此an= S1,n=1, 答案B lS。-S。-1n≥2 解析B中从第二项起，后一项是前一项的瓦倍，符合 微挪究若数列{an}的前n项和为S.,a2og十a2ao十 a22:如何用前n项和S。表示？ 递推公式am=√2am-1(n≥2). 2.累加法、累乘法 答案a2ow十a2om十a2o21=S221一S2o1g, 由数列的递推公式求通项公式时，若递推公式为 课堂 重难突破 由递推公式求数列中的项 3a 解因为a1=1,a+1 a。十3 典例剖析 3×13 3× 3a1 =3 1.已知数列{an}中，a1=l,a2=2,amt2=a+1一am,试写 所以a2= +31+3a=3a: a2十33 出aa,a4,as,a6,a7,ag.数列{am}具有怎样的规律？能否求 +3 出该数列中的第2021项？ 3 3× 1 解a1=1,a2=2,a4=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1 5 3a4 3 2,as= 立- a3十3 5+3 a4+3= 7 a2=1,a8=2, 2+3 发现：am+6=am,数列{an}具有周期性，周期T=6. 3313 证明如下：aut2=at1一aa, 故教列{a.}的前5项依次为1，，亏·27 ∴atg=amt2-amt1=(a+1一a.）-ar+1=一au' am+6=-at3=-（-an)=am, 二由递推公式归纳数列的通项公式 数列{an}是周期数列，且T=6, 典例剖析 即a2021=a38x6+5=a5=-2. 2.已知数列{a}的第1项是2，以后的各项由递推公式 规律总结」递推公式反映的是相邻两项或多项之间的 an-1 (n=2,3,4,…)给出，写出该数列的前5项，并 关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而 aa一1一am- 递推公式则要已知首项或前几项，才可依次求得其他的 归纳出数列{a.}的通项公式. 项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性 解根据首项和递推公式进行求值，a1=2,a2 2 -2 2 学以致用 12-2,a=1=(-2= 3 1已知在数列{a,}中，a1=l,at1 a,十3求该数列的 3a 2 前5项
第四章 数列 课前·基础认知 1.递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 递推公式 . 微思考 仅由数列{an}的递推公式an=an-1+2(n≥ 2)就能确定这个数列吗? 提示 不能.数列的递推公式是由相邻两项或几项的递 推关系确定的,如果只有递推公式而无首项或前几项,那么 这个数列是不能确定的. 微训练 下列数列符合递推公式an= 2an-1(n≥2) 的是( ). A.1,2,3,4,… B.1,2,2,22,… C.2,2,2,2,… D.0,2,2,22,… 答案 B 解析 B中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合 递推公式an= 2an-1(n≥2). 2.累加法、累乘法 由数列 的 递 推 公 式 求 通 项 公 式 时,若 递 推 公 式 为 an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以通过累加法或 累乘法求得通项公式. (1)累加法:当an =an-1 +f(n)时,常用an =(anan-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求通项公式. (2)累 乘 法:当 an an-1 =g(n)时,常 用 an = an an-1 · an-1 an-2 ·…· a2 a1 ·a1 求通项公式. 3.数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称 为数列{an}的 前n 项和 ,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+ an.如果数列{an}的前n项和Sn 与它的序号n 之间的对应 关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 前n项和公式.显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1 (n≥2),因此an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2 . 微探究 若数列{an}的前n项和为Sn,a2019+a2020+ a2021 如何用前n项和Sn 表示? 答案 a2019+a2020+a2021=S2021-S2018. 课堂·重难突破 一 由递推公式求数列中的项 典例剖析 1.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写 出a3,a4,a5,a6,a7,a8.数列{an}具有怎样的规律? 能否求 出该数列中的第2021项? 解a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1, a7=1,a8=2,…. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6. 证明如下:∵an+2=an+1-an, ∴an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an, ∴an+6=-an+3=-(-an)=an, ∴数列{an}是周期数列,且T=6, 即a2021=a336×6+5=a5=-2. 递推公式反映的是相邻两项或多项之间的 关系.对于通项公式,已知n 的值即可得到相应的项;而 递推公式则要已知首项或前几项,才可依次求得其他的 项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性. 学以致用 1.已知在数列{an}中,a1=1,an+1= 3an an+3 ,求该数列的 前5项. 解 因为a1=1,an+1= 3an an+3 , 所以a2= 3a1 a1+3 = 3×1 1+3 = 3 4 ,a3= 3a2 a2+3 = 3× 3 4 3 4 +3 = 3 5 , a4= 3a3 a3+3 = 3× 3 5 3 5 +3 = 1 2 ,a5= 3a4 a4+3 = 3× 1 2 1 2 +3 = 3 7 . 故数列{an}的前5项依次为1, 3 4 , 3 5 , 1 2 , 3 7 . 二 由递推公式归纳数列的通项公式 典例剖析 2.已知数列{an}的第1项是2,以后的各项由递推公式 an= an-1 1-an-1 (n=2,3,4,…)给出,写出该数列的前5项,并 归纳出数列{an}的通项公式. 解 根 据 首 项 和 递 推 公 式 进 行 求 值,a1 =2,a2 = 2 1-2 =-2,a3= -2 1-(-2)=- 2 3 , a4= - 2 3 1- - 2 3 =- 2 5 ,a5= - 2 5 1- - 2 5 =- 2 7 . 7
数学 选择性必修第二册 配人教A版 即戴列的前5项你次为2.-2，-号-号-号 当n=1时，a1=1也符合上式， 电可写为导子号号号即分子是-2分母 长载列a的通项公式是a,=日 依次加2，且都是奇数.故a.=一2m-3 2 规律总结」形知a1一a,=fm)的递推公式，可以利 用a1十(a2-a1)十(a3-a2)十十(am-am-1)=an(n≥ 规律总结由递推公式归纳数列的通项公式，首先根 2)求通项公式：形如2中=f(n)的递推公式，可以利用 据递推公式写出数列的前儿项，然后由前儿项分析其特 点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式. a1.…=a,n≥2)求通项公式以上方 al a2 a-1 法分别叫累加法和累乘法 学以致用 学以致用 2.已知数列{a.}满足a1=1,a.=a-十nm-D（n之 11 2),写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式 3.已知数列{an}满足a1=一1，a+1=am十 nn十1 解a1=1a:=a+议=1+号-是 1 求数列{a.}的通项公式. 11 1 =3+1=5,a 5 a:=a:十3X2=+6=3,a=a,+4X3-3十 解a+一a.=元一n十 11 17 17 ,1_9 12=4a5=a+5X4=4+20=5 ∴a2-a=i-2 11 故数列{a}的前5项依次为1，立，345 3579 aa-a2=2-3' 11 由于1-2x1号-2x2,号-28,7 a4一a3=3-4 12 23 2×4-19_2×5-1 455 aw一au-1= 1-1(m≥2)· n-l n 故教列{an}的一个通项公式为am= 2n-1 则(a2-a1)十(ag-a2)十(a4-a3)十…十(an n 三由累加法或累乘法求通项公式 a-=(1-）+(侵-）++（是） 即an-a1=1-(n≥2)， 典例剖析 3.(1)对于任意数列{an},等式a1十(a2-a1)十 得an=a1十1- -1+11 1 n (ag一a2)十…十(am一am-1)=a.(n≥2)都成立.试根据这一 当n=1时，a1=一1也符合上式. 结论，完成问题：已知数列{an}满足a1=1,am+1一a.=2,求 故数列{a}的通项公式为a.=一元 1 其通项公式： (2)若数列(a,}中各项均不为零，且有a1·2· 四an与Sm的关系的应用 =a.(m≥2)成立.试根据这一结论，完成问题： as-1 典例剖析 已知数列{a.}满足a,=1,a="二(m≥2)，求其通项 4.(1)已知数列{an}的前n项和S.=2m2-3m,则数列 an-1 {am}的通项公式为an= 公式. (2)已知数列{am}的前n项和S.=3”十1，则数列{a.} 解(1)当n≥2时，am=a1十(a2-a1)十(a8- 的通项公式为a,= a2)+…十(a。-aa-1)=1十2+2十…十2=2(n-1)+1= (-0个2 答案1)4n-5（2)m-1. 2.3-1,n≥2 2-1. 当n=1时，a1=1也符合上式， 解析(1)a1=S1=2-3=-1. 故数列{an}的通项公式是am=2-1. 当n≥2时，an=Sn-S.-1=(2n2-3n)-[2(n- 1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合上式，故a。= （2)当n≥2时a=a,2；…品=1x号× al a2 aa-1 4n-5. (2)当n=1时，a1=S1=3十1=4： 当n≥2时，am=S。-S4-1=3"+1-3-1-1=2·3-1
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 即数列{an}的前5项依次为2,-2,- 2 3 ,- 2 5 ,- 2 7 . 也可写为 -2 -1 , -2 1 , -2 3 , -2 5 , -2 7 ,即分子都是-2,分母 依次加2,且都是奇数.故an=- 2 2n-3 . 由递推公式归纳数列的通项公式,首先根 据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其特 点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式. 学以致用 2.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ 1 n(n-1) (n≥ 2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式. 解a1=1,a2=a1+ 1 2×1 =1+ 1 2 = 3 2 , a3=a2+ 1 3×2 = 3 2 + 1 6 = 5 3 ,a4=a3+ 1 4×3 = 5 3 + 1 12 = 7 4 ,a5=a4+ 1 5×4 = 7 4 + 1 20 = 9 5 . 故数列{an}的前5项依次为1, 3 2 , 5 3 , 7 4 , 9 5 . 由于1= 2×1-1 1 , 3 2 = 2×2-1 2 , 5 3 = 2×3-1 3 , 7 4 = 2×4-1 4 , 9 5 = 2×5-1 5 , 故数列{an}的一个通项公式为an= 2n-1 n . 三 由累加法或累乘法求通项公式 典例剖析 3.(1)对 于 任 意 数 列 {an},等 式a1 + (a2 -a1)+ (a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2)都成立.试根据这一 结论,完成问题:已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2,求 其通项公式; (2)若 数 列 {an}中 各 项 均 不 为 零,且 有 a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =an(n≥2)成立.试根据这一结论,完成问题: 已知数列{an}满足a1=1, an an-1 = n-1 n (n≥2),求其通项 公式. 解 (1)当 n≥2 时,an =a1 + (a2 -a1)+ (a3 - a2)+…+(an-an-1)=1+2+2+…+2 (n-1)个2 =2(n-1)+1= 2n-1. 当n=1时,a1=1也符合上式, 故数列{an}的通项公式是an=2n-1. (2)当n≥2时,an=a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =1× 1 2 × 2 3 ×…× n-1 n = 1 n . 当n=1时,a1=1也符合上式, 故数列{an}的通项公式是an= 1 n . 形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利 用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥ 2)求通项公式;形如 an+1 an =f(n)的递推公式,可以利用 a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =an(n≥2)求通项公式.以上方 法分别叫累加法和累乘法. 学以致用 3.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+ 1 n - 1 n+1 , 求数列{an}的通项公式. 解 ∵an+1-an= 1 n - 1 n+1 , ∴a2-a1= 1 1 - 1 2 , a3-a2= 1 2 - 1 3 , a4-a3= 1 3 - 1 4 , …… an-an-1= 1 n-1 - 1 n (n≥2), 则(a2-a1)+ (a3 -a2)+ (a4 -a3)+ … + (an - an-1)= 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n-1 - 1 n , 即an-a1=1- 1 n (n≥2), 得an=a1+1- 1 n =-1+1- 1 n =- 1 n (n≥2), 当n=1时,a1=-1也符合上式. 故数列{an}的通项公式为an=- 1 n . 四 an 与Sn 的关系的应用 典例剖析 4.(1)已知数列{an}的前n 项和Sn=2n2-3n,则数列 {an}的通项公式为an= . (2)已知数列{an}的前n 项和Sn=3n +1,则数列{an} 的通项公式为an= . 答案 (1)4n-5 (2) 4,n=1, 2·3n-1,n≥2 解析 (1)a1=S1=2-3=-1. 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = (2n2 -3n)- [2(n- 1)2-3(n-1)]=4n-5,由 于a1 也 适 合 上 式,故an = 4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n +1-3n-1-1=2·3n-1. 8
第四章数列 显然当n=1时，a1不满足上式. 4,n=1, 学以致用 则aa= 2·3"-1,n≥2. 4.若数列{a.}的前n项和S.=3m2-21十1，则数列 方法归纳」已知数列{a.}的前n项和公式S。,求通项 {an}的通项公式为an= 公式的步骤如下： 答案 2,n=1, 6n-5,n≥2 (1)当n=1时，a1=S1. 解析当n=1时，a1=S1=3X12-2X1十1=2； (2)当n≥2时，根据S.写出S.-1,化简an=S. 当n≥2时，an=S。-S.-1=3n2-2n十1-[3(n- Sw- (3)如果a1也满足当n≥2时，a.=S.-S.-1的通项 1)2-2(n-1)十1]=6m-5,显然当n=1时，a1不满足上 2,n=1, 公式，那么数列{am}的通项公式为an=Sn一S-1;如果a 式.故数列{an}的通项公式为a.= 6m-5,n≥2. 不满足当n≥2时，a.=S。一S-1的通项公式，那么数列 {a.}的通项公式要分段表示为a.= S1n=1 lS。-S-1,n≥2. 随堂训练 1.已知数列{an}满足aam-1=aw-1十（一1）”(n≥2)，且a1= 式为am=3-n, 1,则2等于( 4在数列，}中：若=11=一1，则 A c是 答案1 答案B 1 解析由a1=1,得a2a1=a1十（-1)2，则a2=2: 解析由题意得x1=1,工=一之工=1，即数列{z}为 周期数列，且周期为2，故x22=x1=1. 由a3a2=a:十(-1)°，得a=2:同理得a=3,a= 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且S.=2"十n一1，则数列 2 {a。}的通项公式为 3,故 3 3,故选B 答案an=1十2- a31 解析当n=1时，S1=21+1一1=2， 2.已知数列{an}满足a1=2,a.=am-1十2(n≥2)，则ag等 故a1=2; 于(. 当n≥2时，an=S.-S-1=1十2"-1，且a1=2符合 A.5 B.6 C.7 D.8 上式，故数列{a.}的通项公式为an=l十2-1 答案B 6.已知数列{a.中，a1=2at=a.十ln(1+）,求a 解析根据题意可知a2=a1十2=4，a3=a2十2=6. 3.已知数列{an}满足a1=2,a+1一an十1=0，则此数列的通 解由题意得a1-a,=ln"十出 项公式a.等于()， A.n2+1 B.n+1 则a.-a1=lnn马n≥2. C.1-n D.3-n 答案D 0.-wc-I 解析a+1一an=一l, 当n≥2时，an=a1十(a2-a1)十(aa-a2)十…十 ax-ai=In T. (an-aa-l） =2+(-1)+(-1)十+(-1)=2+(-1)× 当≥2时a,-a=h(片号…） 共（如-1）个 (n-1)=3-n. lnn,即an=2十lnn(n≥2)：当n=1时，a1=2十ln1=2, 当n=1时，a1=2也符合上式.故数列{an}的通项公 符合上式，故am=2十lnn, 9
第四章 数列 显然当n=1时,a1 不满足上式. 则an= 4,n=1, 2·3n-1,n≥2. 已知数列{an}的前n 项和公式Sn,求通项 公式的步骤如下: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=SnSn-1. (3)如果a1 也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项 公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1 不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列 {an}的通项公式要分段表示为an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. 学以致用 4.若数列{an}的前n 项和Sn =3n2-2n+1,则数列 {an}的通项公式为an= . 答案 2,n=1, 6n-5,n≥2 解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an =Sn -Sn-1 =3n2 -2n+1-[3(n- 1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,a1 不满足上 式.故数列{an}的通项公式为an= 2,n=1, 6n-5,n≥2. 随堂训练 1.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2),且a1= 1,则 a5 a3 等于( ). A. 16 15 B. 4 3 C. 8 15 D. 8 3 答案 B 解析 由a1=1,得a2a1=a1+(-1)2,则a2=2; 由a3a2=a2+(-1)3,得a3= 1 2 ;同理得a4=3,a5= 2 3 ,故 a5 a3 = 2 3 1 2 = 4 3 ,故选B. 2.已知数列{an}满足a1=2,an=an-1+2(n≥2),则a3 等 于( ). A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 解析 根据题意可知a2=a1+2=4,a3=a2+2=6. 3.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0,则此数列的通 项公式an 等于( ). A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案 D 解析 ∵an+1-an=-1, ∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1) =2+ (-1)+(-1)+…+(-1) 共(n-1)个 =2+ (-1)× (n-1)=3-n. 当n=1时,a1=2也符合上式.故数列{an}的通项公 式为an=3-n. 4.在数列{xn}中,若x1=1,xn+1= 1 xn+1 -1,则x2021= . 答案 1 解析 由题意得x1=1,x2=- 1 2 ,x3=1,即数列{xn}为 周期数列,且周期为2,故x2021=x1=1. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n +n-1,则数列 {an}的通项公式为 . 答案 an=1+2n-1 解析 当n=1时,S1=21+1-1=2, 故a1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1+2n-1,且a1=2符合 上式,故数列{an}的通项公式为an=1+2n-1. 6.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln 1+ 1 n ,求an. 解 由题意得an+1-an=ln n+1 n , 则an-an-1=ln n n-1 (n≥2), an-1-an-2=ln n-1 n-2 , …… a2-a1=ln 2 1 . 当n≥2时,an -a1=ln n n-1 · n-1 n-2 ·…· 2 1 = lnn,即an=2+lnn(n≥2);当n=1时,a1=2+ln1=2, 符合上式,故an=2+lnn. 9
数学 选择性必修第二册 配人教A版 课后·训练提升 基础·巩固 答案A 解析由a1=1,a。·a+1=-2可得， 1.已知数列{an}满足a1=-4a.=1 1 (n>1),则a4 a2=-2,a=1,a:=-2,故数列{am}是以2为周期 as-1 的周期数列，即a8=一2. 等于(). A.5 4 B.4 c-1 D.5 7.已知数列{a.}满足a+1·(1-a.)=1,且a1=-2则 a22n等于( 答案C 1 A.3 解析由题意可知a2=1一 =5,a3=1 B-7 c号 D1345 2 a2 5a4 答案B 1 解析：am+1·(1一an)=l,且a1=一 21 2.已知数列{an}的前n项和Sn=一n2,则(). A.a,=2n+1 B.an=-2n+1 a=3,a=一2数列a,是周期数列. 2 1 a2= C.am=-2n-1 D.a.=2n-1 1 答案B 且周期T=3.2020=673X3+1a2am=a1=-2: 解析由am=S。-Sm-1(n≥2)，得am=1-21,当n=1 8.数列{am}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列， 时，S1=a1=一1，符合上式 是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例 故am=-2n十1. 子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每 3.已知数列{an}对任意的p,q∈N“满足apta=a,十ag,且 项等于其前相邻两项之和.即a+2=at1十a若该数列 a2=-6,那么ao等于( ). {a.}的前n项和为S,,则下列结论正确的是(). A.-165 B.-33 A.S2o9=a2o2m十2 B.S2o19=a2o21十2 C.-30 D.-21 C.S2019=a2000-1 D.S2os=a2021-1 答案C 答案D 解析由已知得a2=a1十a1=2a1=一6，即a1=-3.故 解析因为a+2=a+1十a。,所以a。=am+2一a+1,所以 a10=2a5=2(a2十a3)=2a2十2(a1十a2)=4a2十2a1=4X Sm=a1十a2十ag十十am=(aa-a2)十(a4-aa)十 (-6)十2×(-3)=-30. (a5一a4)十十(amt2-aat1)=ar+2-a2=am+2-1,所以 4.在数列{an}中，a-1=ma.十1(n>1),且a2=3,aa=5,则 S2o19=a2021-1,故选D. 实数m等于(). 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形： A号 R号 C.2 D.3 答案A 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a。与所搭三角形 解析由题意得a2=ma3十1，即3=5m十1， 的个数n之间的关系式可以是」 故m=号 答案am=2n十1 解析a1=3,a2=3十2=5，a3=3+2+2=7,a4=3+2+ 5.已知数列{an}满足a1=1,a+1= |am十3，n为奇数， 2a.十1，n为偶数， 则as 2十2=9，…，故am=2n十1. 10.若数列{a.}满足(m-1)an=(n十1)a.-1(n≥2)，且a1= 等于( A.16 B.25 C.28 D.33 1,则2.= a100= an-1 答案C 解析当n=1时，a2=1十3=4； 答案”+1 n-1 5050 当n=2时，a3=2X4十1=9： 解析由(n一1)am=(n十1)a-1, 当n=3时，a4=9十3=12： a=i-（n≥2)，则a1mw=a1·a... 得a。=n十1 当n=4时，a5=2×12+1=25: al az 当n=5时，a6=25十3=28. 6.在数列{an}中，如果a1=1,a。·am+1=一2，那么ag等 2=1x2××…×9=50 于(). 1l.已知数列{an}满足a1=1,at1=pan十qm,其中p,9均 为正数，且a2=3,a4=13. A.-2 R-司 C.1 D.2 (1)求p,q的值： 10
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知数列{an}满足a1=- 1 4 ,an=1- 1 an-1 (n>1),则a4 等于( ). A. 4 5 B. 1 4 C.- 1 4 D. 1 5 答案 C 解析 由题意可知a2=1- 1 a1 =5,a3=1- 1 a2 = 4 5 ,a4= 1- 1 a3 =- 1 4 . 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2,则( ). A.an=2n+1 B.an=-2n+1 C.an=-2n-1 D.an=2n-1 答案 B 解析 由an=Sn-Sn-1(n≥2),得an=1-2n,当n=1 时,S1=a1=-1,符合上式. 故an=-2n+1. 3.已知数列{an}对任意的p,q∈N* 满足ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么a10 等于( ). A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 答案 C 解析 由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,即a1=-3.故 a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4× (-6)+2×(-3)=-30. 4.在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则 实数m 等于( ). A. 2 5 B. 2 3 C.2 D.3 答案 A 解析 由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1, 故m= 2 5 . 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1= an+3,n为奇数, 2an+1,n为偶数, 则a6 等于( ). A.16 B.25 C.28 D.33 答案 C 解析 当n=1时,a2=1+3=4; 当n=2时,a3=2×4+1=9; 当n=3时,a4=9+3=12; 当n=4时,a5=2×12+1=25; 当n=5时,a6=25+3=28. 6.在数列{an}中,如果a1=1,an·an+1=-2,那么a8 等 于( ). A.-2 B.- 1 2 C.1 D.2 答案 A 解析 由a1=1,an·an+1=-2可得, a2=-2,a3=1,a4=-2,故数列{an}是以2为周期 的周期数列,即a8=-2. 7.已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=- 1 2 ,则 a2020 等于( ). A.3 B.- 1 2 C. 2 3 D. 1345 2 答案 B 解析 ∵an+1·(1-an)=1,且a1=- 1 2 , ∴a2= 2 3 ,a3=3,a4=- 1 2 ,∴数列{an}是周期数列, 且周期T=3.∵2020=673×3+1,∴a2020=a1=- 1 2 . 8.数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列, 是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例 子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每 项等于其前相邻两项之和.即an+2=an+1+an.若该数列 {an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是( ). A.S2019=a2020+2 B.S2019=a2021+2 C.S2019=a2020-1 D.S2019=a2021-1 答案 D 解析 因为an+2=an+1+an,所以an=an+2-an+1,所以 Sn=a1 +a2 +a3 +…+an =(a3 -a2)+(a4 -a3)+ (a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,所以 S2019=a2021-1,故选D. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形 的个数n之间的关系式可以是 . 答案 an=2n+1 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+ 2+2=9,…,故an=2n+1. 10.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),且a1= 1,则 an an-1 = ;a100= . 答案 n+1 n-1 5050 解析 由(n-1)an=(n+1)an-1, 得 an an-1 = n+1 n-1 (n≥2),则a100=a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· a100 a99 =1× 3 1 × 4 2 ×…× 101 99 =5050. 11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+qn,其中p,q 均 为正数,且a2=3,a4=13. (1)求p,q的值; 10