的通解。 解：系数矩阵的特征方程为 det(A- E)=3 (1- 2 ) 因此，特征根为 1=0， 2=1， 3=-1，它们相应的特征向 量可以取为 v1= -2 v2= 2 v3= 3 -1 -1 0 1 2 1 因此基解矩阵为 -2 2et 3e-t (t) = -1 -e t 0 1 2et e -t 故通解为 -2 2et 3e-t c1 x(t)= (t) c= -1 -e t 0 c2 1 2et e -t c3 -2 2 3 =c1 -1 +c2 -1 et +c3 0 e-t 1 2 1 其次假设 n×n 矩阵 A 的特征根为 1， 2，.， k，相应的重数分别为 n1,n2,. nk,且 n1+n2+.+nk=n。由高代知，n 维常数列向量所组成的 n 维空间 U 的子集是 U 的 nj维不变子空间 (j=1,2,.k), 且 U=U1⊕U2⊕.⊕UK (5、49) 我们先求(5、33)满足初始条件 (0)= 的解，由 (5、49) 我们有 =v1+v2+. +vk (5、50) 其中 vj∈uj,j=1,2,.,k, 因子空间 uj是方程
(A- jE)nju=0 (5、48) 的解产生的，从而 vj 一定是 (5、48) 的解，由此即得 (A- jE)l vj=0, l≥ nj,j=1,2,.,k (5、51) 由于 e - jt e jtexp(- jEt)=e jt . =E . e - jt 由 (5、51) 有(expAt)Vj =(expAt)e jt[exp(- )Et]Vj =e jt[exp(A- jE)t]Vj =e jt[E+t(A- jE)+ 2! 2 t (A- jE)2 +.+ ( 1)! 1 − − j n n t j (A- jE)nj-1 ]Vj 故 (5 、 33) 的 解 (t) = (exp At) 可表为 = = = = = k j j k j t At At Vj At V 1 1 ( ) (exp ) exp (exp ) j nj j nj j j k j j t A E V nj t A E t e E t A E ( ) ] ( 1)! ( ) 2! [ ( ) 1 1 2 2 1 − − = − − = + − + − + + 所以， (5、33) 满足 (0) = 的解 (t) 可以写成 j E j n i o k i j jt A E V i t t e i ( ) ] ! ( ) [ 1 1 = − − = = (5、22) 注：当 A 只有一个特征值时，对于任何 U,即有 (A- E)n U=0 (A- E)n =0 故 i n i i t t A E i t At e A E t e ( ) ! exp exp( ) 1 0 = − = − − = (5、53) 为了从 (5、52) 中求 expAt 注意到 expAt= [expAt]E=[(expAt)e1,.,(expAt)en] 其中 1 0 0 0 1 . E1= . ,e2= 0 , e3= . . . 0 0 0 1