华东师范大学：《矩阵计算》课程教学资源（课堂讲义）第五讲 对称特征值问题

第五讲对称特征值问题设AERnxn是对称矩阵.在计算A的特征值和特征值向量时，我们可以充分利用A的对称结构，一方面尽可能地减少运算量，另一方面也能构造出更加快速高效的算法关于对称矩阵的特征值和特征值向量，目前常用算法有：·Jacobi送代：最古老的方法，收敛速度较慢，但精度较高，且很适合并行计算·Rayleigh商选代：利用Rayleigh商作为位移的反送代算法，一般具有三次收敛性·对称QR迭代：计算对称矩阵的特征值和特征向量的QR算法.如果只需计算对称三对角矩阵的所有特征值，则该算法是目前最快的方法（运算量为O（n)).如果需要计算所有的特征值和特征向量，则运算量约为6n3.·分而治之法（Divide-and-Conquer）：计算对称三对角矩阵的特征值和特征值向量的一种快速算法基本思想是将大矩阵分解成小矩阵，然后利用递推思想求特征值和特征向量.在最坏的情形下，运算量为O(n3），但在实际应用中，平均为O(n2.3).如果使用快速多极子算法(FMM)后，理论上的运算量可降低到O(nlog’n)，其中p是一个较小的整数，这使得分而治之算法成为目前求解对称三对角矩阵的所有特征值和特征向量的最快方法之一。·对分法和反选代：对分法主要用于求解对称三对角矩阵在某个区间中的特征值，运算量约为O(kn)，其中k为所需计算的特征值的个数.反选代用于计算特征向量，在最佳情况下，即特征值“适当分离”时，运算量约为O(kn），但在最差情况下，即特征值成串地紧靠在一起时，运算量约为O(2n)）而且不能保证特征向量的精度（虽然实际上它几乎是精确的）十除了Jacobi送代和Rayleigh商选代外，其余算法都需要先将对称矩阵三对角化，这个过程大约需花费n的工作量，如果需要计算特征向量的话，则运算量约为n3福5.1Jacobi迭代该算法的基本思想是通过一系列的Jacobi旋转J将A正交相似于二个对角矩阵，即A(O) = A, A(+1) =JIA(K)J,k= 0,1,...且A(）收敛到一个对角矩阵，其中Js为正交矩阵135

第五讲 对称特征值问题 设 A ∈ R n×n 是对称矩阵. 在计算 A 的特征值和特征值向量时, 我们可以充分利用 A 的对称结构, 一方面尽可能地减少运算量, 另一方面也能构造出更加快速高效的算法. 关于对称矩阵的特征值和特征值向量, 目前常用算法有: • Jacobi 迭代: 最古老的方法, 收敛速度较慢, 但精度较高, 且很适合并行计算. • Rayleigh 商迭代: 利用 Rayleigh 商作为位移的反迭代算法, 一般具有三次收敛性. • 对称 QR 迭代: 计算对称矩阵的特征值和特征向量的 QR 算法. 如果只需计算对称三对角矩阵的所 有特征值, 则该算法是目前最快的方法 (运算量为 O(n 2 )). 如果需要计算所有的特征值和特征向量, 则运算量约为 6n 3 . • 分而治之法 (Divide-and-Conquer) : 计算对称三对角矩阵的特征值和特征值向量的一种快速算法. 基本思想是将大矩阵分解成小矩阵, 然后利用递推思想求特征值和特征向量. 在最坏的情形下, 运 算量为 O(n 3 ), 但在实际应用中, 平均为 O(n 2.3 ). 如果使用快速多极子算法 (FMM) 后, 理论上的运 算量可降低到 O(n logp n), 其中 p 是一个较小的整数, 这使得分而治之算法成为目前求解对称三对 角矩阵的所有特征值和特征向量的最快方法之一. • 对分法和反迭代: 对分法主要用于求解对称三对角矩阵在某个区间中的特征值, 运算量约为O(kn), 其中 k 为所需计算的特征值的个数. 反迭代用于计算特征向量, 在最佳情况下, 即特征值 “适当分 离” 时, 运算量约为 O(kn), 但在最差情况下, 即特征值成串地紧靠在一起时, 运算量约为 O(k 2n), 而且不能保证特征向量的精度 (虽然实际上它几乎是精确的). † 除了 Jacobi 迭代和 Rayleigh 商迭代外, 其余算法都需要先将对称矩阵三对角化. 这个过程大约需 花费 4 3 n 3 的工作量, 如果需要计算特征向量的话, 则运算量约为 8 3 n 3 . 5.1 Jacobi 迭代 该算法的基本思想是通过一系列的 Jacobi 旋转 Jk 将 A 正交相似于一个对角矩阵, 即 A (0) = A, A(k+1) = J ⊺ k A (k)Jk, k = 0, 1, . . . , 且 A(k) 收敛到一个对角矩阵, 其中 Jk 为正交矩阵. 135

.136.第五讲对称特征值问题Jacobi旋转J的构造我们通常选取Jk为Givens变换，即iJk1cosOk-sinkihJ&= G(ik,Jk,Ou)=jksinOkcOsOk1由于A()是对称矩阵，所以可以选取适当的，将A()(i,)和A(K)(j,)化为0.引理5.1设AeIR2x2是对称矩阵，则存在Givens变换GER2x2使得GTAG为对角阵证明.设-sinecoseGsinecose则cos6-singcos6-singGTAG=sinecososinecosaacos+csin?0+bsin20(c-a)sin20+bcos20(c-a)sin20+bcos20asin?0+ccos?-bsin20令号（c-a)sin20+bcos20=0即得1- tan?0a-cCot20262tang解得sign(↑)a-ctang:/+ V1++226口故引理结论成立为了使得A()收敛到一个对角矩阵，其非对角元素必须趋向于0.记of(A)为所有非对角元素的平方和，即off(A)=, =IIA -Ea,详i=1我们的目标就是使得of(A）尽快趋向于0

· 136 · 第五讲 对称特征值问题 Jacobi 旋转 Jk 的构造 我们通常选取 Jk 为 Givens 变换, 即 Jk = G(ik, jk, θk) = ik jk                       1                       . . . 1 ik cos θk − sin θk . . . jk sin θk cos θk 1 . . . 1 . 由于 A(k) 是对称矩阵, 所以可以选取适当的 θk, 将 A(k) (i, j) 和 A(k) (j, i) 化为 0. 引理 5.1 设 A ∈ R 2×2 是对称矩阵, 则存在 Givens 变换 G ∈ R 2×2 使得 G⊺AG 为对角阵. 证明. 设 A = [ a b b c] , G = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] , 则 G ⊺AG = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ]⊺ [ a b b c] [cos θ − sin θ sin θ cos θ ] = [ a cos2 θ + c sin2 θ + b sin 2θ 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ a sin2 θ + c cos2 θ − b sin 2θ ] 令 1 2 (c − a)sin 2θ + b cos 2θ = 0 即得 a − c 2b = cot 2θ = 1 − tan2 θ 2 tan θ . 解得 tan θ = sign(τ ) |τ | + √ 1 + τ 2 , τ = a − c 2b . 故引理结论成立. □ 为了使得 A(k) 收敛到一个对角矩阵, 其非对角元素必须趋向于 0. 记 off(A) 为所有非对角元素的平 方和, 即 off(A) = ∑ i̸=j a 2 ij = ∥A∥ 2 F − ∑n i=1 a 2 ii , 我们的目标就是使得 off(A) 尽快趋向于 0

5.1Jacobi选代.137.引理5.2 设 A =[ai]nxn E Rnxn 是对称矩阵, A =[ai]nxn = JTAJ, J = G(i,j,0),其中 的选取使得a=a=0,则ff(A) = of(A) - 2azj证明.设A=[a1,a2,...,an].令A=JTA=[aij]nxn·由于J是正交阵,故JTal2 = al|2, k = 1, 2,..-, n.又JT左乘a时，只影响其第i个元素的值，故由IJTaill2=al2和JTaill2=lall2可得+=++=+(5.1)同理，由 A=AJ可得a+a=a+a+ai=a+ai(5.2)又=a=0,故+aj=a+++dji=+j+2由于JTAJ只影响A的第ij行和第i,j列，故对角线元素中只有aii和aji受影响.所以nLa=)Zakk+2ag,k=1k=1故of(A)=IIAl2-ax=IlAll2 -a%k-2a, = of(A)-2a)k=1k=1口即引理结论成立由此可知,of(A(k)）总是不断减小的.下面给出[acobi迭代算法算法5.1.Jacobi选代算法l:Given a symmetric matrix Ae IRnxn2:if eigenvectors are desired thenset J= I and shift = 13:4: end if5:while not converge do6:choose an index pair (i, j) such that aij 07:T= (au- a)/(2ai)8:t = sign()/(I| + V1+r2)O%计算tan6C=1/V1+t2%计算cosg9:s=c·t%计算sing10:11:A=G(i,j,0)TAG(i,j,0)%实际计算时不需要做矩阵乘积12:if shift =1 then13:J= J·G(i,J,0)

5.1 Jacobi 迭代 · 137 · 引理 5.2 设 A = [aij ]n×n ∈ R n×n 是对称矩阵, Aˆ = [ˆaij ]n×n = J ⊺AJ, J = G(i, j, θ), 其中 θ 的选取 使得 aˆij = ˆaji = 0, 则 off(Aˆ) = off(A) − 2a 2 ij . 证明. 设 A = [a1, a2, . . . , an]. 令 A˜ = J ⊺A = [˜aij ]n×n. 由于 J 是正交阵, 故 ∥J ⊺ ak∥2 = ∥ak∥2, k = 1, 2, . . . , n. 又 J ⊺ 左乘 ak 时, 只影响其第 i, j 个元素的值, 故由 ∥J ⊺ai∥2 = ∥ai∥2 和 ∥J ⊺aj∥2 = ∥aj∥2 可得 a˜ 2 ii + ˜a 2 ji = a 2 ii + a 2 ji, a˜ 2 ij + ˜a 2 jj = a 2 ij + a 2 jj . (5.1) 同理, 由 Aˆ = AJ˜ 可得 aˆ 2 ii + ˆa 2 ij = ˜a 2 ii + ˜a 2 ij , aˆ 2 ji + ˆa 2 jj = ˜a 2 ji + ˜a 2 jj . (5.2) 又 aˆij = ˆaji = 0, 故 aˆ 2 ii + ˆa 2 jj = a 2 ii + a 2 jj + a 2 ij + a 2 ji = a 2 ii + a 2 jj + 2a 2 ij . 由于 J ⊺AJ 只影响 A 的第 i, j 行和第 i, j 列, 故对角线元素中只有 aii 和 ajj 受影响. 所以 ∑n k=1 aˆ 2 kk = ∑n k=1 a 2 kk + 2a 2 ij , 故 off(Aˆ) = ∥Aˆ∥ 2 2 − ∑n k=1 aˆ 2 kk = ∥A∥ 2 2 − ∑n k=1 a 2 kk − 2a 2 ij = off(A) − 2a 2 ij , 即引理结论成立. □ 由此可知, off(A(k) ) 总是不断减小的. 下面给出 Jacobi 迭代算法. 算法 5.1. Jacobi 迭代算法 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and shif t = 1 4: end if 5: while not converge do 6: choose an index pair (i, j) such that aij ̸= 0 7: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 8: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) % 计算 tan θ 9: c = 1/√ 1 + t 2 % 计算 cos θ 10: s = c · t % 计算 sin θ 11: A = G(i, j, θ) ⊺AG(i, j, θ) % 实际计算时不需要做矩阵乘积 12: if shif t = 1 then 13: J = J · G(i, j, θ)

第五讲对称特征值问题.138.endif14:15: end while该算法涉及到a的选取问题，一种直观的选取方法就是使得ai为所有非对角元素中绝对值最大的一个，于是我们就得到下面的经典Jacobi算法算法5.2.经典Jacobi选代算法1:Givena symmetricmatrixAERnxn2: if eigenvectors are desired thensetJ-Iand shift=13:4: endif5:while off(A)> tol do6:choose (i, j) such that aii=maxk±ak7:T= (ai-aj)/(2ai)t = sign(T)/(I/ + V1+ T2)8:c=1/V1+t29:s=c-t10:11:A=G(i,j,0)TAG(i,j,0)12:if shift =1 then13:J= J.G(i,j,0)endif14:15: end while可以证明，经典Jacobi算法至少是线性收敛的定理5.1对于经典Jacobi算法5.2,有om(4(+)≤(1-)of(4(),N=(n=1),-故k步选代后，有of(4()≤(1-)om(4)-(1-) om(4),证明.由于在经典Jacobi算法5.2中,[ail=maxk=iail,故of(A(k)≤n(n+1)(a()）即2(8)≥(4),2所以由引理5.2可知of(4(+1) = f(A() - (a)≤ (1- ) f(A()口事实上，经典Jacobi算法最终是二次局部收敛的

· 138 · 第五讲 对称特征值问题 14: end if 15: end while 该算法涉及到 aij 的选取问题, 一种直观的选取方法就是使得 aij 为所有非对角元素中绝对值最大 的一个, 于是我们就得到下面的经典 Jacobi 算法. 算法 5.2. 经典 Jacobi 迭代算法 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and shif t = 1 4: end if 5: while off(A)> tol do 6: choose (i, j) such that |aij | = maxk̸=l |akl| 7: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 8: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) 9: c = 1/√ 1 + t 2 10: s = c · t 11: A = G(i, j, θ) ⊺AG(i, j, θ) 12: if shif t = 1 then 13: J = J · G(i, j, θ) 14: end if 15: end while 可以证明, 经典 Jacobi 算法至少是线性收敛的. 定理 5.1 对于经典 Jacobi 算法 5.2, 有 off(A (k+1)) ≤ ( 1 − 1 N ) off(A (k) ), N = n(n − 1) 2 . 故 k 步迭代后, 有 off(A (k) ) ≤ ( 1 − 1 N )k off(A (0)) = ( 1 − 1 N )k off(A). 证明. 由于在经典 Jacobi 算法 5.2 中, |aij | = maxk̸=l |akl|, 故 off(A(k) ) ≤ n(n + 1) ( a (k) ij )2 , 即 2 ( a (k) ij )2 ≥ 1 N off(A (k) ), N = n(n − 1) 2 . 所以由引理 5.2 可知 off(A (k+1)) = off(A (k) ) − ( a (k) ij )2 ≤ ( 1 − 1 N ) off(A (k) ). □ 事实上, 经典 Jacobi 算法最终是二次局部收敛的

5.2Rayleigh商迭代.139 .定理5.2经典Jacobi算法5.2是N步局部二次收敛的，即对足够大的k，有off(A(k+N) = 0(off(A())由于在经典Jacobi算法中，每一步都要寻找绝对值最大的非对角元，比较费时，因此它并不实用.我们可以通过逐行扫描来选取（i，），这就是循环Jacobi迭代算法算法5.3.循环Jacobi选代算法（逐行扫描）I:Given a symmetricmatrix ARnxn2: if eigenvectors are desired thenset J=I and shift=13:4: end if5: while off(A)> tol do6:for i=l ton-ldo7:forj=i+ltondo8:ifaij≠0then9:T=(ai-a)/(2ai)t = sign()/(I + V1+ 2)10:c=1/V1+t211:s=ct12:13:A= G(i,j,0)TAG(i,j, 0)14:if shift =1 then15:J=J.G(i,j,0)endif16:end if17:end for18:end for19:20: end while循环Jacobi也具有局部二次收敛性[75,page270]5.2Rayleigh商送代在反迭代算法中，工；的Rayleigh商是特征值入；的近似，因此我们可以把它作为位移，于是就得到下面的Rayleigh商迭代算法算法5.4.Rayleigh商选代I:Givenan initialguessowithloll2=1

5.2 Rayleigh 商迭代 · 139 · 定理 5.2 经典 Jacobi 算法 5.2 是 N 步局部二次收敛的, 即对足够大的 k, 有 off( A (k+N) ) = O ( off2 ( A (k) ) ) . 由于在经典 Jacobi 算法中, 每一步都要寻找绝对值最大的非对角元, 比较费时, 因此它并不实用. 我 们可以通过逐行扫描来选取 (i, j), 这就是循环 Jacobi 迭代算法. 算法 5.3. 循环 Jacobi 迭代算法 (逐行扫描) 1: Given a symmetric matrix A ∈ R n×n 2: if eigenvectors are desired then 3: set J = I and shif t = 1 4: end if 5: while off(A)> tol do 6: for i = 1 to n − 1 do 7: for j = i + 1 to n do 8: if aij ̸= 0 then 9: τ = (aii − ajj )/(2aij ) 10: t = sign(τ )/(|τ | + √ 1 + τ 2) 11: c = 1/√ 1 + t 2 12: s = c · t 13: A = G(i, j, θ) ⊺AG(i, j, θ) 14: if shif t = 1 then 15: J = J · G(i, j, θ) 16: end if 17: end if 18: end for 19: end for 20: end while 循环 Jacobi 也具有局部二次收敛性 [75, page 270]. 5.2 Rayleigh 商迭代 在反迭代算法中, xi 的 Rayleigh 商是特征值 λi 的近似, 因此我们可以把它作为位移, 于是就得到下 面的 Rayleigh 商迭代算法. 算法 5.4. Rayleigh 商迭代 1: Given an initial guess x0 with ∥x0∥2 = 1