说明： y=Cy1(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如，(x)是某二阶齐次方程的解，则 y2(x)=2y1(x)也是齐次方程的解 但是 C1(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)M1(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
定义：设(x),2(x),,yn(x)是定义在区间1上的 n个函数，若存在不全为0的常数k1,飞2，，kn,使得 1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0，x∈I 则称这个函数在I上线性相关，否则称为线性无关， 例收如，1，cos2x,sinx,在(-o,+o)上都有 1-cos2 x-sin2x =0 故它们在任何区间1上都线性相关， 又如，1，x,x2,若在某区间1上飞1+2x+k3x2≡0， 则根据二次多项式至多只有两个零点，可见k1,k2,k? 必需全为0，故1，x,x2在任何区间1上都线性无关 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设 n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(− , + )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数
两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件： (x),y2(x)线性相关 存在不全为0的k1,k2使 k1y1(x)+k2y2(x)≡0 (x) k2 无妨设 y2(x) k≠0 (x),2(x)线性无关 (x) 2(x) 圭常数 可微函数1，y2线性无关 1(x)y2(x) ≠0 1(x)y2(x) 思考：若(x),y2(x)中有一个恒为0，则n(x),y2(x) 必线性相关 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x − ( 无妨设 0 ) k1 线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 线性无关