1202 作业:p3828.,30;p32,3,9 看书: 31 335139 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： 31 33 39 44 P P P P − − , 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 作业：p p 38 63 28, 30; 2, 3, 9. 1202
§1-3代数系统 定义10:设A,B是两个非空集合,f是A到B的 一个二元关系。若对Va∈A,都存在唯一的b∈B, 使得(a,b)∈f,则称f是从A到B的一个映射, 定义14:设A,B,C为三个集合,称从A×B 到C的一个映射为A与B到C的一个二元 代数运算,特别地,当A=B=C时, 称为A上的一个二元运算。 代数系统:带运算的集合,一般是自身上的运算, 有时,也和别的集合运算 如线性空间:数乘:FxV→V;加法:VxV→V
2 , , , A B C A B C A B C A B C A 定义14：设 为三个集合，称从 到 的一个映射为 与 到 的一个二元 代数运算 特别地，当 ＝ ＝ 时， 称为 上的一个二元运算。 : : ; : . , . , , 如线性空间 数乘 F V →V 加法 V V →V 有时 也和别的集合运算 代数系统：带 运算的集合 一般是自身上的运算 §1-3.代数系统 10 A B f A B a A b B a b f f A B 定义 ：设 ， 是两个非空集合， 是 到 的 一个二元关系。若对 ，都存在唯一的 ， 使得（ ， ） ，则称 是从 到 的一个映射
群:设G是非空集合,在G中定义了一个二元 运算米(即对G中任意a,b有G中唯一元素 (记为a*b)与之对应,且满足如下规律 (1)封闭性对任意a,b∈G,总有a米b∈G (2)结合律a*(b*C)=(a*b)*C(对任a,b,C∈G (3)(恒元)存在e∈G,使e*a=a对任a∈G (4)(逆元)对任a∈G,总存在b∈G,b*a=e (4)中的b称为a的逆,记为a 记为(G;*)()恒元也称为单位元 如果还有a*b=b*a,对任a,b∈G,则称 G为Abel群或交换群 Group
3 ( ) , : ( , : , 记为 与之对应 且满足如下规律 运算 即对 中任意 有 中唯一元素 群 设 是非空集合 在 中定义了一个二元 a b G a b G G G (4)( ) , , . (3)( ) , . (2) . a ( ) (a ) ( , , ). (1) . , , . a G b G b a e e G e a a a G b c b c a b c G a b G a b G = = = 逆元 对任 总存在 恒元 存在 使 对任 结合律 对任 封闭性 对任意 总有 记为(G;) (3) . (4) , 1 中恒元也称为单位元 中的 称为 的逆 记为 − b a a . , , , 为 群或交换群 如果还有 对任 则称 G Abel a b = ba a bG Group
例:(Z;+),(g;+),(R+),(C;+)均为Abel群 例2:线性空间是一个加法群Ⅴ(F 例3:n阶可逆方阵的全体(按通常矩阵的乘法) 是乘法群。称为一般线性群 eneral linear gro p简记为GLn(F) 而SLn(F)={A∈M(F)etA= 称为特殊线性群一一 Special linear group 定义中的恒元和逆元都是乘在左边的, 可以证明,乘在右边也有相同的性质。 即a*a=e,4*e=a
4 例1：(Z;+), (Q;+), (R;+), (C;+)均为Abel群. , . 1 即 a a ＝e a e＝a 可以证明，乘在右边也有相同的性质。 定义中的恒元和逆元都是乘在左边的， － 3 . 例 ：n阶可逆方阵的全体（按通常矩阵的乘法） 是乘法群。称为一般线性群 －－ 2 V (F) 例 ：线性空间是一个加法群 n ( ) ( ) det 1 n n SL F A M F A Special Linear group 而 ＝｛ ＝｝ 称为特殊线性群－－ ( ). n general linear group GL F 简记为
环:设R是一个集合,在R上定义了两个二元运算 分别记为加法(+)和乘法()且满足: (1)(R;+)是Abel群, (2)(R;)是半群,即满足封闭性和结合律 (3)分配律a(b+c)=aba·c (a+b)c=a·c+bc对va,b,c∈R 记为(R十,),加法恒元常记为0 例4:(z;十,)是环称为整数环(有单位元无逆元) 例5:n阶方阵的全体,按通常矩阵的加法和 乘法是环Mn(F)加法零元是0方阵, ring 乘法恒元为单位阵
5 R R 1 R; Abel 2 R; . 3 ( ) ( ) , , . (R; , ), 0. a b c a b a c a b c a c b c a b c R + + 环：设 是一个集合，在 上定义了两个二元运算， 分别记为加法（ ）和乘法（ ）且满足： （ ）（ ）是 群， （ ）（ ）是半群，即满足封闭性和结合律 （ ）分配律 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ 对 记为 ＋ 加法恒元常记为 例4 ( ; , ) , ( , ：Z ＋ 是环 称为整数环。有单位元 无逆元） Ring 5 . ( ) 0 n n M F 例 ： 阶方阵的全体，按通常矩阵的加法和 乘法是环 加法零元是 方阵， 乘法恒元为单位阵