1203 作业: P411,12,16,19,21 看书: 125-1 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 1203 P64 11, 12, 16, 19, 21. 作业： P P 45 54 −
定义4:i)设f(X)=anXn+…+a1X+a,c∈F, 则f(c)=ancn+…+a1c+a,称为f(X)在c点的值。 i)若f(c)=0,称c为f(X)在F中的根或零点, 也称c为f(X)=0的解或根 定理2:i余数定理f(x)=(x-c)q(X)+f(c) i)零点定理f(c)=0(X-c)f(X) c为f(X)的根f(X)=(-c)q(X) 设f()=(x-c)mg(X),(g(X)∈F(X),c∈F, g(c)≠0,m≥1 则称c为f(X)的m重根。当m=1时称c为单根
2 ) ( ) 0 ( ) ( ). 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ). ii f c X c f X i f X X c q X f c = − = − + 零点定理 定理 ： 余数定理 c为f (X)的根 f (X) = (X − c)q(X)。 则称 为 的 重根。当 时称 为单根。 设 c f X m m c g c m f X X c g X g X F X c F m ( ) 1 ( ) 0, 1) ( ) ( ) ( ),( ( ) ( ), , = = − 则 称为 在 点的值。 定义 ： ）设 f c a c a c a f X c i f X a X a X a c F n n n n ( ) , ( ) 4 ( ) , , 1 0 1 0 = + + + = + + + 也称 为 的解或根。 若 称 为 在 中的根或零点， ( ) 0 ) ( ) 0, ( ) = = c f X ii f c c f X F
定理3:域F上的次多项式f(X)在F中最多 有n个根(重根按重数计入) proof:设a1为f(X)的根,则由零点定理彐f(X) 使f(X)=(X-a1)f1(X)再若a2是根a1≠a2 则f(X)=(X-a1)(X-a2)/(Y) 继续 f(X=(x-a1). (X-amfm(X) (X-a1)1…(X-amn)”mfm(X) 两边次数相等,∑n2≤n
3 继续 则 使 再若 是根 设 为 的根 则由零点定理 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) , ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 f X X a X a f X f X X a f X a a a proof a f X f X = − − = − = − − = − − = m i i m n m n m m n n X a X a f X f X X a X a f X m 1 1 1 , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 两边次数相等 ( ). 3 ( ) 有 个根 重根按重数计入 定理 ：域 上的 次多项式 在 中最多 n F n f X F
推论:设f(X)∈F[X],degf(X)=m,如果f(X) 在F中有>n个不同的根,则f(X)=0 定理4:设f(X),g(X)∈F[X,degf,degg<m 若在n个不同的点c1…,Cn上,f(c)=g(c) 则f(X)=g(X) 证:令h(X)=f(X)-g(X).则 …Cn是h(X)的不同的零点,h(X)=0
4 ( ) ( ). , , , ( ) ( ) 4 ( ), ( ) [ ], deg ,deg . 1 f X g X n c c f c g c f X g X F X f g n n i i = = 则 若在 个不同的点 上 定理 ：设 , , ( ) , ( ) 0. ( ) ( ) ( ). 1 = = − c c h X h X h X f X g X n 是 的不同的零点 证：令 则 , ( ) 0. ( ) [ ], deg ( ) , ( ) = = F n f X f X F X f X n f X 在 中有 个不同的根 则 推论：设 如果
§1-3最大公因子与辗转相除法 定义1;设f,g∈F[X 1)若h(x)∈F]满足hf,hg 则称h(X)为f(X)与g(X)的公因式 2)若d(X)∈F是f和g的公因式, 且是f和g的任一公因式的倍, 则称d(X)为f(X)与g(X)的最大公因式 f与g的首一最大公因式记为(f,g)
5 §1- 3 最大公因子与辗转相除法 则称 为 与 的公因式。 若 满足 定义 ；设 ( ) ( ) ( ) 1) ( ) [ ] , 1 , [ ] h X f X g X h X F X h f h g f g F X ( ) ( ) ( ) . 2) ( ) [ ] , 则称 为 与 的最大公因式 且是 和 的任一公因式的倍， 若 是 和 的公因式 d X f X g X f g d X F X f g f 与g的首一最大公因式记为( f , g)