《理工科代数基础》共轭变换、规范变换

1215 作业: P,8.12.13.14.17 看书 230 2385 245 246 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1215 230 238 245 246 P P P P − − , P246 8, 12, 13, 14, 17. 作业：

§2-1共轭变换 定义6:设a,是Un(C)上的线性变换,若对 va,B∈Un(C),有(aa,B)=(a,B) 则称σ是σ的伴随变换(共轭变换) (aB=(.,B,; hermite变换是自伴随变换 设62,…,En是Un(C)的标准正交基, 设(a1,a2…,En)=(61,62,…,En)A 15℃2 ,En)=(61,E2,…,En)B 则∵(a,B)=(,a)分(OE,E1)=(E,'6) an=b,B=A,得

2 §2-1 共轭变换 . , ( ), ( , ) ( , ), 6 , ( ) , 则称 是 的伴随变换（共轭变换） 有 定义 ：设 是 上的线性变换 若对                 U C = U C n n (,) = (,)，Hermite变换是自伴随变换. B A U C n n n n n n ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2                  ， ， 设 ， ， 设 ， 是 的标准正交基，      = =  . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ， 得 则  =  =  =  =   T j i i j i j i j a b B A             

UU=1,酉变换的共轭变换是它的逆变换 §2-2规范变换 定义7:设σ是Un(C)上的线性变换,若有 Oo三OO 则称σ是规范变换(正规变换). normal 设6,2…,En是Un(C)舶的标准正交基, (G1,E2,…,En)=(a1,E2,…,En)A 则有a(G1,62…,En)=(a,62…,En)A 由σσ*=σ'σ→>A′=A′A,称A为规范阵 命题:规范变换在标准正交基下的矩阵是规范阵

3 §2-2 规范变换 normal Un C ( ). 7 ( ) 则称 是规范变换 正规变换 定义 ：设 是 上的线性变换，若有         = A U C n n n n ( , , ) ( , , ) , , ( ) 1 2 1 2 1 2           ， ， 设 ， 是 的标准正交基，    = U U = I,酉变换的共轭变换是它的逆变换. T  命题:规范变换在标准正交基下的矩阵是规范阵. T 则有 ( 1 , 2 , ， n ) = ( 1 , 2 , ， n )A  由 AA A A,称A为规范阵 . T T  = → =     

定理8: n阶方阵可以酉相似于对角阵令A是规范阵. pO0f→设存在酉阵U,使得 UAU= ,U-=U7则 U-L A=U 1x1 AA U A A

4 n A A .   定理8 ： 阶方阵 可以酉相似于对角阵 是规范阵则 设存在酉阵 ，使得 T n U AU U U proof U =         =  − −1 1 1 , :    , , 1 1 1 1 − −           =         A =U U A U U n T n       . 1 1 1 AA U U A A T n n T =            = −     

←对A的阶数用归纳法.n=时,显然 今设A为n-1阶时充分性成立, 而当A为n阶方阵时,设AX1=X1(X1=1) 可补充X2…Xn使Un=(X1,X2…,Xn)为西阵 则有UUn=(4C A=U 0 An l×(m-1) n万TT n A7=0/4+C T IT An-1 T C Am-Ar n U ncn cC+Ar n

5 1 , . 1 , . 今设 为 阶时充分性成立 对 的阶数用归纳法 时 显然 −  = A n A n , 0 , 0 , , 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 − − − −  − − −         =        =      = T n n n T T n n n n n n n U C A A U U A C C A U A C U AU    则有 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − −         + =         + = n n T n n T T T T n n n T n T n T n T U C C C A A C A A U U A C A A CC CA AA U       可补充 使 为酉阵 而当 为 阶方阵时 设 , , ( , , , ) , ( 1), 2 1 2 1 1 1 1 X Xn Un X X Xn A n AX X X  =  =  =