1206 作业 100 21;n42,10,12,16. 看书 191 P-p 97 108 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 91 97 − P P 100 174 2 2, 10, 12, 16. 作业. 1; P P 101 108 − 1206 答疑时间： 周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅
§6商空间 定义12:设W是V的子空间,如a,B∈V,满足 a-B∈W,则称a与模W同余,记作 a=(mod) 自反性α=a(modw),vaev 对称性如α=(mod)则B=a(modW) 传递性如=(modw)=y(modw) 则a=y(modW) a-y=(a-b)+(B-y)∈W 模W同余是线性空间V上的一种等价关系
2 §6 商空间 , , , , ( mod ) W V V W W W − 定义12：设 是 的子空间，如 满足 则称 与 模 同余 记作 模 W 同余是线性空间V 上的一种等价关系 自反性 (modW), V 对称性 如 (mod ) (mod ) W W 则 传递性 如 (mod ) (mod ) W W − = − + − ( ) ( ) W 则 (mod ). W
定义13:设W是的子空间,Va∈V, 定义的子集合a+W={a+月B∈W} 称为模W的一个同余类,而c叫做这个 同余类的一个代表 例21 V=R W是过原点的直线 a+wO a+W是平行W的直线
3 . , { } , 同余类的一个代表 称为模 的一个同余类 而 叫做这个 定义 的子集合 定义 ：设 是 的子空间， W V W W W V V + = + 13 例21: x y W O . , 2 是平行 的直线 是过原点的直线 W W W V R + = +W
模W的同余类的基本性质 (1)若a′∈a+W,则a+W=a+W (2)若y∈a+W,而y+W, 则(a+W)∩(B+W)= 证()∵a'∈a+W→彐B∈W,使a′=a+B Vy∈a'+W,BB1∈W,使y=a'+B a+B+B1=a+(B+B)∈a+∴左∈右; 同理δ∈a+W,彐B2∈W,使δ=a+B2 =a+B-B+B,=a+B2-BEa'+w 右c左,→左=右
4 模W的同余类的基本性质: (1)若 +W, 则 +W = +W. 证(1) +W → W,使 = + . . . , 2 2 2 2 右 左， 左 右 （ ） 同理 ，使 = = + − + = + − + + = + W W W ( ) ( ) , (2) , , + + = + + W W W W 则 若 而 （ ） 左 右； ，使 = + + = + + + + = + W W W 1 1 1 1
(2)若δ∈(a+W)∩(B+W),则由(1)知 a+w=8+w=B+w 与已知y∈a+W,y≠β+W矛盾. 线性空间Ⅳ按模W同余关系所得等价类 的集合V={a+Wa∈}是的商集 在商集V中定义加法和数乘如下: (a+W)+(+W)=(+B)+W, (a+w=ca+w 则V对于所定义的运算构成域F上的线性 空间,称为V的商空间.记作V/W
5 的集合 { } 是 的商集. 线性空间 上按模 同余关系所得等价类 V W V V V W = + ( ) . ( ) ( ) ( ) , c W c W W W W V + = + + + + = + + 在商集 中定义加法和数乘如下： . (2) ( ) ( ), (1) 与已知 ， 矛盾 若 则由 知 W W W W W W W + + + = + = + + + V . V /W. V F 空间，称为 的商空间 记作 则 对于所定义的运算构成域 上的线性