《理工科代数基础》第2次 讨论课

第2次讨论课 Exercise1判断下面所定义的映射哪些是线性变换,哪些不是? (1)在F3上,o(x1,x2,x3)2)=(x1+x2+r3,x2+x3,x1)2; (2)在F3上,o(x1,x2,x3))=(x2,x2-x3,0) (3)在Fn[x]上,a(f(x)=x·f(x) (4)在Mn(F)上,σ(X)=BXC,其中B,C∈Mn(F)是两个确定的矩 (5)把复数域C看作C上的线性空间,σ(a)=a,a∈C,a是a的共 轭复数 解 (1)是。符合线性变换的定义 (2)否。因为x2+y2≠(x+y)2。反例:a(1,0,0)+(1,0,0)2)=不满足线性性。 (2,0,0)2)=(4,0,0)而a(1,0,.0)2)+a(1,0,0)2)=(2,0,0)。 (3)否。因为x·f(x)Fn] 不满足封闭性 (4)是。符合线性变换的定义 (5)否。反例:i·()=1而o(i·i)=-1 不满足数乘封闭性。 Exercise2举例说明 (1)o,T∈L(V),σr=0不一定推出σ=0或r=0 d个≠T 解 (1)令V=R2,设o(x1,x2)2)=(x1,0),r(x1,x2))=(0,x2)2, 则σ≠0,r≠0。但 (2)令 a(x1,x2) r(x1,x2)2)=(x1,x1+ GT≠T0 Exercise3在R过]上,定义两个线性变换 r(f(a))=f(a), T(())=af(r) 证明 (1)a-0r=E,E是单位变换 (2)(ra)2=r2a2+r 问:σ是不是R[]上的幂零变换?是不是Rn[a]上的幂零变换? 证明 (1)Vf∈Rx] ar(f(x)=0(xf(x)=f(x)+rf(x) To(f(a))=r('(r)=rf(r) (oT-To((r))=f(a)=E(f(a)) 证毕

第 2 次讨论课 Exercise 1 判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？ (1) 在 F 3 上，σ((x1, x2, x3) T ) = (x1 + x2 + x3, x2 + x3, x1) T ； (2) 在 F 3 上，σ((x1, x2, x3) T ) = (x 2 1 , x2 − x3, 0)T ； (3) 在 Fn[x] 上，σ(f(x)) = x · f(x)； (4) 在 Mn(F) 上，σ(X) = BXC，其中 B, C ∈ Mn(F) 是两个确定的矩 阵； (5) 把复数域 C 看作 C 上的线性空间，σ(α) = ¯α，α ∈ C，α¯ 是 α 的共 轭复数。 解： (1) 是。符合线性变换的定义。 (2) 否。因为 x 2 + y 2 6= (x + y) 2。 反例：σ((1, 0, 0)T + (1, 0, 0)T ) = 不满足线性性。 σ((2, 0, 0)T ) = (4, 0, 0)T 而 σ((1, 0, 0)T ) + σ((1, 0, 0)T ) = (2, 0, 0)T。 (3) 否。因为 x · f(x) ∈/ Fn[x]。 不满足封闭性。 (4) 是。符合线性变换的定义。 (5) 否。反例：i · σ(i) = 1 而 σ(i · i) = −1。 不满足数乘封闭性。 Exercise 2 举例说明 (1) σ, τ ∈ L(V )，στ = 0 不一定推出 σ = 0 或 τ = 0； (2) στ 6= τσ 解： (1) 令 V = R 2，设 σ((x1, x2) T ) = (x1, 0)T，τ ((x1, x2) T ) = (0, x2) T， 则 σ 6= 0, τ 6= 0。但 στ = 0。 (2) 令 V = R 2，设 σ((x1, x2) T ) = (x1, 0)T，τ ((x1, x2) T ) = (x1, x1 + x2) T，则 στ 6= τσ。 Exercise 3 在 R[x] 上，定义两个线性变换： σ(f(x)) = f 0 (x), τ (f(x)) = xf(x) 证明： (1) τσ − στ = ε，ε 是单位变换； (2) (τσ) 2 = τ 2σ 2 + τσ。 问：σ 是不是 R[x] 上的幂零变换？是不是 Rn[x] 上的幂零变换？ 证明： (1) ∀f ∈ R[x] στ (f(x)) = σ(xf(x)) = f(x) + xf0 (x) τσ(f(x)) = τ (f 0 (x)) = xf0 (x) (στ − τσ)(f(x)) = f(x) = ε(f(x)) 证毕。 1

(2)(ra)2(f(x))=ro(xf(x)=x(f(x)+xf"(x)=xf(x)+x2f"(x) r2o2(f(x))=r(7)o(f(x)=r(ra)(f(x)=r(xf"(x)=x2f"(x) (2a2+To)(f(x))=x2f"(x)+rf(x)=(xo)2(f(x) 证毕。 a不是R]上的幂零变换。因为,对于任意n∈N,总存在一个m>n 和f∈Rmn,使得σ"(f(x)不是0。 σ是Rn{上的幂零变换。因为,存在m>n,使得对于f∈Rn{x], 有am(f(x) Exercise4设a是F上n维线性空间v上的线性变换,a1,a2,……,an 是V的一个基,则: Im()=L(a(a1),o(a2),…,o(an) (1)o(a1),o(a2),…,o(an)是不是Im(a)的基? (2)o(a1),o(a2),…,o(an)是Im(a)的基的充分必要条件是什么? 解 (1)不是。因为可能a(a1),o(a2),…,σ(an)并不彼此线性无关。 (2)o(a1),o(a2),…,o(an)是Im(o)的基的充分必要条件是σ可逆。证 明如下 可逆→→a的矩阵表示A可逆 →A的列线性无关(同构) →o(a1),o(a2),…,o(an)线性无关 (an)为Im(a)的基 Exercise5设线性空间v={x=(1x12)ri∈R},定义 (1)试证明a是v的线性变换 求Im(a)和ker()的基和维数 证明: (1)易见V是到自身的线性映射,且由矩阵乘法和数乘的性质,可知对 于a,B∈V,A∈R,有σ(a+B)=σ(a)+o(6),o(a)=Mo(a)成立 (2)可知 a(x)=(211+x21-x12-x22 +2x21+x12+x22 x11+ +2x21+x12+x22 故可见Im(a)中的元素有 a b 的形式,所以,可知Im(a)的维数 为2,基为 和 下面来求ker(a)的维数和基。先令 1 可以得到 x11+x21=0 x12+x22=0

(2) (τσ) 2 (f(x)) = τσ(xf0 (x)) = x(f 0 (x) + xf00(x)) = xf0 (x) + x 2f 00(x) τ 2σ 2 (f(x)) = τ (τσ)σ(f(x)) = τ (τσ)(f 0 (x)) = τ (xf00(x)) = x 2f 00(x) (τ 2σ 2 + τσ)(f(x)) = x 2f 00(x) + xf0 (x) = (τσ) 2 (f(x)) 证毕。 σ 不是 R[x] 上的幂零变换。因为，对于任意 n ∈ N，总存在一个 m > n， 和 f ∈ Rm[x]，使得 σ n(f(x)) 不是 0。 σ 是 Rn[x] 上的幂零变换。因为，存在 m > n，使得对于 ∀f ∈ Rn[x]， 有 σ m(f(x)) = 0。 Exercise 4 设 σ 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则： Im(σ) = L(σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn)) 问：(1) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是不是 Im(σ) 的基？ (2) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 Im(σ) 的基的充分必要条件是什么？ 解： (1) 不是。因为可能 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 并不彼此线性无关。 (2) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 Im(σ) 的基的充分必要条件是 σ 可逆。证 明如下： σ可逆 ⇐⇒ σ的矩阵表示A可逆 ⇐⇒ A的列线性无关 (同构) ⇐⇒ σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn)线性无关 ⇐⇒ σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn)为Im(σ)的基。 Exercise 5 设线性空间 V = ½ X = µ x11 x12 x21 x22 ¶ ¯¯ ¯ ¯ xij ∈ R ¾ ，定义 σ(X) = µ 1 1 1 1 ¶ X µ 1 2 −1 1 ¶ . (1) 试证明 σ 是 V 的线性变换。 (2) 求 Im(σ) 和 ker(σ) 的基和维数。 证明： (1) 易见 V 是到自身的线性映射，且由矩阵乘法和数乘的性质，可知对 于 α, β ∈ V, λ ∈ R,，有 σ(α + β) = σ(α) + σ(β), σ(λα) = λσ(α) 成立。 (2) 可知 σ(X) = µ x11 + x21 − x12 − x22 2x11 + 2x21 + x12 + x22 x11 + x21 − x12 − x22 2x11 + 2x21 + x12 + x22 ¶ 故可见 Im(σ) 中的元素有 µ a b a b ¶ 的形式，所以，可知 Im(σ) 的维数 为 2，基为 µ 1 0 1 0 ¶ 和 µ 0 1 0 1 ¶ 。 下面来求 ker(σ) 的维数和基。先令 ½ x11 + x21 − x12 − x22 = 0 2x11 + 2x21 + x12 + x22 = 0 可以得到： ½ x11 + x21 = 0 x12 + x22 = 0 2

故()中的元素有(b b)的形式,所以,可知Im()的维数 为2,基为 0 和 Exercise6在R3上,下列子空间是否是所给线性变换a的不变子空 间 (1)1={(a1,a2,0)fa,a2∈R},o(a,a2,a3)2)=(a2,a1,a3)2; (2)W2={0.,a2,0)a2∈R},o(a1,a2,a3))=(a2,0,0) 解: (1)对于任意(a1,a2,0)∈W1有o(a1,a2,0))=(a2,a1,0)∈W1成 立,故W1为a的不变子空间。 (2)当a2≠0时,(0,a2,0)∈W2但o(0.,a2,0)2)=(a2,0.,0)rgW2e 故W2不是a的不变子空间。 Exercise7设a∈L(V),W是V的子空间,a-1(W)是W在a下的 原像,如果W是σ的不变子空间时,σ-1(W)是不是a的不变子空间?反 之,如果σ-1(W)是σ的不变子空间时,W是不是σ的不变子空间?为什 解 如果W是σ的不变子空间,则Wga-1(W)。又在a作用下,a-1(W) 的所有的像都在W中,所以必在a-1(W)中。因此,a-1(W)是a的不变 子空间 如果a-1(W)是σ的不变子空间,则W不一定是a的不变子空间 例如:W={(x,x,0)},a(W)={(x,0,0)},易见W不是a的不变子空 间。而a-1(W)为{(0,0,0)},为a的不变子空间。 Exercise8设n维线性空间V的线性变换a在基a1,a2,……,an下的 矩阵是 (1)若V是a的一个不变子空间,且a1a1+a2a2+…+akak∈V0,1≤ k≤n,ak≠0,则a1,a2,……,ak∈V。 (2){0},L(a1),L(a1,a2),……,L(a1,a2,…,an-1),V是V的全部a的 不变子空间 证明: (1)由矩阵可得:o(ak)=ak-1 由于V是a的一个不变子空间 a2a1+a3a2+…+akak-1=0(a1a1+a2a2+…+akak)∈V a3a1+a4a2+…+akak-2=0(a201+a3a2+……+akak-1)∈Vo

故 ker(σ) 中的元素有 µ a b −a −b ¶ 的形式，所以，可知 Im(σ) 的维数 为 2，基为 µ 1 0 −1 0 ¶ 和 µ 0 1 0 −1 ¶ 。 Exercise 6 在 R 3 上，下列子空间是否是所给线性变换 σ 的不变子空 间？ (1) W1 = {(a1, a2, 0)T ¯ ¯ a1, a2 ∈ R}, σ((a1, a2, a3) T ) = (a2, a1, a3) T ; (2) W2 = {(0, a2, 0)T ¯ ¯ a2 ∈ R}, σ((a1, a2, a3) T ) = (a2, 0, 0)T ; 解： (1) 对于任意 (a1, a2, 0)T ∈ W1 有 σ((a1, a2, 0)T ) = (a2, a1, 0)T ∈ W1 成 立，故 W1 为 σ 的不变子空间。 (2) 当 a2 6= 0 时，(0, a2, 0)T ∈ W2 但 σ((0, a2, 0)T ) = (a2, 0, 0)T ∈/ W2。 故 W2 不是 σ 的不变子空间。 Exercise 7 设 σ ∈ L(V )，W 是 V 的子空间，σ −1 (W) 是 W 在 σ 下的 原像，如果 W 是 σ 的不变子空间时，σ −1 (W) 是不是 σ 的不变子空间？反 之，如果 σ −1 (W) 是 σ 的不变子空间时，W 是不是 σ 的不变子空间？为什 么？ 解： 如果 W 是 σ 的不变子空间，则 W ⊆ σ −1 (W)。又在 σ 作用下，σ −1 (W) 的所有的像都在 W 中，所以必在 σ −1 (W) 中。因此，σ −1 (W) 是 σ 的不变 子空间。 如果 σ −1 (W) 是 σ 的不变子空间，则 W 不一定是 σ 的不变子空间。 例如：W = {(x, x, 0)T }，σ(W) = {(x, 0, 0)T }，易见 W 不是 σ 的不变子空 间。而 σ −1 (W) 为 {(0, 0, 0)T }，为 σ 的不变子空间。 Exercise 8 设 n 维线性空间 V 的线性变换 σ 在基 α1, α2, · · · , αn 下的 矩阵是   0 1 0 . . . . . . . . . . . . 1 0   试证： (1) 若 V0 是 σ 的一个不变子空间，且 a1α1 + a2α2 + · · · + akαk ∈ V0, 1 ≤ k ≤ n, ak 6= 0，则 α1, α2, · · · , αk ∈ V0。 (2) {0}, L(α1), L(α1, α2), · · · , L(α1, α2, · · · , αn−1), V 是 V 的全部 σ 的 不变子空间。 证明： (1) 由矩阵可得：σ(αk) = αk−1。 由于 V0 是 σ 的一个不变子空间， a2α1 + a3α2 + · · · + akαk−1 = σ(a1α1 + a2α2 + · · · + akαk) ∈ V0 a3α1 + a4α2 + · · · + akαk−2 = σ(a2α1 + a3α2 + · · · + akαk−1) ∈ V0 · · · α1 ∈ V0 3

将上述式子逐步逆推,可逐步得到a2,……,ak∈V。证毕。 (2)由(1)的结论,显然成立

将上述式子逐步逆推，可逐步得到 α2, · · · , αk ∈ V0。证毕。 (2) 由 (1) 的结论，显然成立。 4