《理工科代数基础》第三章 线性变换的核与值域（3.1-3.4）核与值域 Kernel and Image

作业 B1418,19,20,21,23 看书 109119 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： P P 109 119 − P174 18, 19, 20, 21, 23. 作业 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅

§3线性变换的核与值域 1207 3-1核与值域 Kernel and Image 定义7:设是Vn(F)的线性变换,V中向量在o的 作用下全体象的集合称为o的值域. Imo={oalaV}=V dim Im o称为线性变换o的秩 定理5:(1)Imo是Vn(F)的子空间 ∵Imo非空;Va,B∈Imo,3,n使o5=a,on=B, 于是有a+b=o5+on=o(5+n)∈mo; ka=ko5=ok5∈mo. 2

2 §3 线性变换的核与值域 §3-1 核与值域 Kernel and Image V V Vn F V         Im ={  } = . 7 ( ) , 作用下全体象的集合称为 的值域 定义 ：设 是 的线性变换 中向量在 的 dim Im称为线性变换的秩。 : 1 Im ( ) . 定理5（） 是 的子空间  V F n Im ; , Im , , = , = , ( ) Im ; k k k Im .                           + = + = +  = =  非空 使 于是有 1207

(2)Imo=L(o1;…,n)其中81…,En是V的基 poC∷任a∈ma,∈V,使G2=a设ξ=∑a 则a=0=Σao6∈L(GE1…,OEn)∴左≤右 反之,任6∈右,有 β=>bGE=∑bE∈ma 右左∴左=右 →dim(GV)=rnk(o81, O

3 (2)Im ( , , ), , , .  = L 1  n 其中 1   n 是 V的基1 1 1 : Im , , = = ( , , ), ; n i i i n i i n i proof V a a L             = =    =  =     任 使 设 则 左 右 1 1 , , Im . n n i i i i i i b b       = =  = =     =   反之 任 右 有 右 左 左 右 dim( ) ( , , ). 1 n   V = rank   

()dim(Im o)=ranka 其中A是σ在基a1,…,en下的矩阵 dim(Imσ)=(8;…8n )的秩, 而A的列为8,…,Gen的坐标, (G6,…,on的秩=A的列秩=A的秩 定义8:设σ是Vn(F)的线性变换,所有被σ映成 零向量的向量的集合称为σ的核 Keo={∈oa=0=1(0) dim Kerσ称为线性变换σ的零度

4 , , . (3)dim(Im ) . 其中A是 在基 1 n 下的矩阵 rankA     =  ( , , ) . , , , dim(Im ) ( , , ) , 1 1 1 的秩 的列秩 的秩 而 的列为 的坐标 的秩 A A A n n n      = =      =         { 0} (0) . 8: ( ) , −1  =   = =     Ker V Vn F 零向量的向量的集合称为 的核 定义 设 是 的线性变换 所有被 映成 dim Ker称为线性变换的零度

定理:<1>ke是Vn(F)的子空间 <2>设G在Vn(F)的基6,…,6下的矩阵为4 a∈kera,记a的坐标为X,则(rMkA=r) O=0<>AX=0, B=a<取y=AX 设X1…,Xn为AX=0的基础解系 记a1=(E1,…,En,)X,则 Kero =l(a 1529500n- =(1,…,En)(X1 1,54-n-r Kero=(1,…,En)4

5 定理: 1 Ker 是V (F)的子空间.    n 1 2 ( ) , , ker , 0 0 V F A n n X AX            =  = 设 在 的基 下的矩阵为 ， 记 的坐标为 ，则 ， (rankA = r)   = ⎯⎯→ = Y AX 取坐标 1 , , 0 , 设 为 的基础解系 X X AX n r − = ( , , ) . Ker = 1  n nullA 1 1 2 ( , , ) ( , , , ). i n i n r X Ker L        − = = 记 则 1 1 ( , , )( , , ) =     n n r X X −