《理工科代数基础》欧几里得空间的定义和性质

1212 作业 P26,9,11,12. 看书 P-P 179 197 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅

1 看书： P P 179 197 − P222 6, 9, 11, 12. 作业： 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1212

Chapter v Eucliden Space §1欧几里得空间的定义和性质 Vn(R中内积是一个对称正定,双线性函数 V(R)×V(R)→R a Bb(a,B) (1)(c,B)=(,a);对称性 (2)(a,B)=k(a,B) 双线性性 (3)(a+B6,y)=(a,y)+(B,y) (4)(a,x)≥0且(a,a)=0>a=02 正定性

2 Chapter V Eucliden Space §1 欧几里得空间的定义和性质 V (R)中内积是一个对称,正定,双线性函数. n ( , ) ( ) ( )      V R V R → R (4) ( , ) 0 ( , ) 0 0. (3) ( , ) ( , ) ( , ); (2) ( , ) ( , ); (1) ( , ) ( , );  =  = + = + = =                     且 k k 对称性 双线性性 正定性

a|=√a,a (a,B) p=arccos 0<≤兀 D aB a⊥B=(a,B)=0 1 Cauchy- Schwarz不等式,(a,P)≤|af 设a a+…+aO√ 2 2 C1+…+a +…+b rbf(x)g(x)dx< raf(x)dx ra2(x)cx

3 ( , ) arccos , 0        =   1.Cauchy − Schwarz不等式，（，）   .    = ( , ), ( , ) 0. D     ⊥ = = 设   ， 则       =         = n bn b a a   1 1  ,  2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n a b a b a a b b + +  + + + + 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a    f x g x dx f x dx g x dx 

2标准正交基a,a,…,=n两两正交且|e|=1 3.Schm正交化程序设a1…,an线性无关, Bi B1 9 2=a2-(2)e,aB A2 n n 1)n-1 B

4 2. , , , , 1. 标准正交基 1  2   n 两两正交且  i = 3. Schmidt正交化程序. 设1 ,  ,n 线性无关， , , 1 1 1 1 1 1 1      = e = = ( , ) , , 2 2 2 2 2 1 1 2    = −  e e e =    . ( , ) ( , ) ( , ) , 1 1 2 2 1 1 n n n n n n n n n n e e e e e e e        = = − − − − −

4可逆阵的QR分解 设ax1…,an线性无关,a1∈R", B1= 1 a2=(a2,a)e1+B1e2, an=(a, e)e+.+(an,n-en-1+Bonle 半 (a1…an)=(e1…en Bn

5 4.可逆阵的Q R分解. , , , 1 n 设   n 线性无关，i  R , 1 1 1 1  =  =  e ( , ) , 2 2 1 1 2 2  =  e e +  e    ( , ) ( , ) . n n 1 1 n n 1 n 1 n n  =  e e + +  e e +  e  − − ( ) ( )             = n n n e e     * * * 1 1 1       