1105 作业 P。9.12.17.18.19 看书 80 90 答疑时间:周二,周五下午3:30-5:30 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 80 90 − 答疑时间: 周二, 周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅 P98 9, 12, 17, 18, 19. 作业： 1105
§4-2子空间的运算 定义8:设W1,W2是Vn(F)的两个子空间, ∩W2={ala∈1,a∈W2}称为W1与W2的交 W1+W2={a=a1+a2a1∈W1,a2∈W2} 称为W1与W2的和 exp1:在V3(R)中,W1表x轴,W2为oyz平面. 那么W1∩W2={0},W1+W2=V3(R) exp2:在V3(R)中,W表oxy平面,W2表oyz平面 则W∩W2=y轴,W1+W2=V3(R)
2 §4-2 子空间的运算 . { , } { , } . 8 , ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 称为 与 的和 称为 与 的交 定义 ：设 是 的两个子空间 W W W W W W W W W W W W W W Vn F + = = + = {0}, ( ). exp1: ( ) . 1 2 1 2 3 3 1 2 W W W W V R V R W x W oyz 那么 = + = 在 中， 表 轴， 为 平面 , ( ). exp 2 : ( ) . 1 2 1 2 3 3 1 2 W W y W W V R V R W oxy W oyz 则 = 轴 + = 在 中， 表 平面， 表 平面
命题2:设W=<a1…a>,W2≤B,…B>则 W1+W2=L(x1;…,a3,B,…,B,) 任α∈右,有 =∑入11+21B 1)0(2) eW,(2)∈W2,∴∈W+W2:右s左 而任a∈左有a=少+a2且al∈W,∈W2 a4+a可由a…;ay,B2…,B线性表出, a∈右,∴左c右,∴左=右 Vn(F)=1,…,n><61>+…十<En
3 右 左 任 右 有 + = + = + = = (1) 1 (2) 2 1 2 (1) (2) 1 1 , , , : , W W W W proof t i i i s i i i . , , , , , , , 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 右， 左 右， 左 右 可由 线性表出， 而任 左 有 且 = + = + s t W W Vn (F) = 1 , ,n = 1 ++ n 1 1 2 1 1 2 1 1 , , , , , , ( , , , , , ). s t s t W W W W L = = + = 命题2：设 则
定理12(维数公式) dimW+dimW2=dm(W+W)+dm(W∩形) p0OC:设dmW=r,dmW2=,dm(W∩W2)= 是W∩W,的基, 把它扩充为W的基a12…,a,B1…,B; 把它扩充为2的基a(,…,a,"4…,y要证 a1,…,a,B1…,月,y1,…,y恰为W+W的基 设1+…11++B21+…+,月 δ∈W+ t+1t+1 ∴ y S/ S 0,(1) δ∈W 2
4 dim dim dim( ) dim( ) 12 W1 + W2 = W1 +W2 + W1 W2 定理 （维数公式） , , , , ; , , : dim , dim ,dim ( ) . 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 t t r t W W W proof W r W s W W t + = = = 把它扩充为 的基 ， 是 的基， 设 , , , , , . W2 1 t t 1 s 把它扩充为 的基 + − W2 W1 0, (1) , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + + = + + + + + + + + + + + t t s s t t t t r r t t r t s W W 设 ， ， 恰为 的基 要证
δ∈W∩W2,故存在p41…,A使 8=/1C1+…+Ot=- t+1t+1 13s 而 t+15 y为W2的基, 线性无关。→>得=0,i=1,…,s, 特别1=…=4=0,代回(1)式中 又由a1,…,a,B1,…,B,线性无关得: λ=0,i=1,…,于是得 1,B1,…,B, r:/t+19 ,y线性无关 dim W,+dim W2=dim(W,+W2)+dim(W,nw2)
5 t t t t s s W W t = + + = − − − + + 1 1 1 1 1 2 1 , 故存在 , , 使 0, 1, , , , , , , , , 1 1 2 i s W i t t s → = = + 线性无关。 得 而 为 的基 0, (1) , 特别t+1 == s = 代回 式中 dim dim dim( ) dim( ). , , , , , , , , 0, 1, , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 W W W W W W i r t t r t s i t t r + = + + = = + + + 线性无关 于是得 又由 线性无关得：