《材料力学》拉伸变形典型习题解析

轴向拉压变形 典型习题解析 1图示结构,杆AB和BC拉压刚度EA相同,在节点B处承受集中力F,试求节点B的水 平及铅垂位移。 BI B? B (b) 题1图 解题分析:本题为静定问题。由静力平衡方程确定各杆轴力后,计算各杆轴向变形。最后用 “切线代圆弧”方法,确定节点B的新位置,计算节点B的水平及铅垂位移 解:1、计算各杆的轴力:设AB杆和BC杆轴力分别为FN、F2,且均为拉力,则B点的 静力平衡方程为 ∑ ∑F=0,FN2sin45°-F=0 解得FN1=FFN2=√2F 2、计算AB,BC杆变形

轴向拉压变形 典型习题解析 1 图示结构，杆 AB 和 BC 拉压刚度 EA 相同，在节点 B 处承受集中力 F，试求节点 B 的水 平及铅垂位移。 C 2 题 1 图 解题分析：本题为静定问题。由静力平衡方程确定各杆轴力后，计算各杆轴向变形。最后用 “切线代圆弧”方法，确定节点 B 的新位置，计算节点 B 的水平及铅垂位移。 解：1、计算各杆的轴力：设 AB 杆和 BC 杆轴力分别为 、 ，且均为拉力，则 B 点的 静力平衡方程为 FN1 FN2 ∑Fx = 0, FN2 cos 45° − FN1 = 0 ∑F = 0, FN2 sin 45° − F = 0 y 解得 FN1 = F FN2 = 2F 2、计算 AB，BC 杆变形 F A B 1 45o B F FN1 45o FN2 (a) a a B ∆l1 ∆ B1 l2 B2 45o B＇ B3 (b) (c) 21

AB杆变形:M=F14_Fa (伸长) EA EA BC杆变形:4、F2(√2FX√2a)2f(伸长) 3、求节点B的位移:将AB延长M1到B1点(见图c),CB延长Ml2到B2点。分别以A C为圆心,AB1、CB2为半径画圆弧,两圆弧相交于一点,该点就是变形后B点的新位置 但在小变形条件下,可以用切线代替圆弧。所以确定B点新位置的简便做法是:从B、B2 点分别作AB、CB2的垂线,两条垂线的交点就是变形后B点的新位置,即B3点。为方便 计算,另作辅助线BB。从图c的几何关系容易计算出 B点水平位移4=B1=M1=f(→) B点铅垂位移4=BF=N+M如n432y2(2Fa1F0=(+22)EA 2图示结构AD段为钢杆,横截面面积A=2×104mm2,弹性模量E=210GPa,DB段为 铜杆,横截面面积A2=1×10°mm2,弹性模量E2=100GPa,F=1000kN,试求上、下端 反力及各段横截面上的应力。 解题分析:本题有两个未知反力,有效平衡方程只有一个,为一度静不定问题。首先应列出 静力平衡方程和变形协调方程,以确定各段轴力的大小,然后再计算各段中应力。 解:1、静力平衡方程 在F力作用下,AC段受拉,CD、DB段受压,可设上端截面 约束反力为拉力F1,下端截面约束反力为压力F2,它们的方向如图示。C 于是杆AB的静力平衡方程 D 铜2a F1+F2-F=0 2、变形协调方程:静不定问题需要补充方程才能确定各力。补 7F 充方程一般从变形协调条件中寻找。本题中,由于A、B两端的题2图 约束,AB段的总变形为零,此即变形协调条件。设AC、CD、 DB段变形分别为M,Mlc和M,则有 -4/ 3、利用物理关系,用力表示变形协调方程

AB 杆变形： EA Fa EA F l ∆l = = N1 1 1 (伸长) BC 杆变形： EA Fa EA F a EA F l l N2 2 ( 2 )( 2 ) 2 ∆ 2 = = = (伸长) 3、求节点 B 的位移：将 AB 延长 1 ∆l 到 B1点（见图 c），CB 延长 2 ∆l 到 点。分别以 A、 C 为圆心，A 、C 为半径画圆弧，两圆弧相交于一点，该点就是变形后 B 点的新位置。 但在小变形条件下，可以用切线代替圆弧。所以确定 B 点新位置的简便做法是：从 、 点分别作 A 、C 的垂线，两条垂线的交点就是变形后 B 点的新位置，即 点。为方便 计算，另作辅助线 。从图 c 的几何关系容易计算出 B2 B1 B2 B1 B2 B1 B2 B3 ' BB B 点水平位移 ( ) = 1 = 1 = → EA Fa BB l ∆Bx ∆ B 点铅垂位移 ) (1 2 2) ( ) 2 tan 45 2( sin 45 1 ' 2 + ∆ ° = + = + ↓ ° ∆ = = EA Fa EA Fa EA Fa l l ∆By BB 2 图示结构 AD 段为钢杆，横截面面积 A 1= 2×104 mm2 ，弹性模量 210 GPa E1 = ，DB 段为 铜杆，横截面面积 A 2=1×104 mm2 ，弹性模量 100 GPa E2 = ，F = 1000 kN，试求上、下端 反力及各段横截面上的应力。 解题分析：本题有两个未知反力，有效平衡方程只有一个，为一度静不定问题。首先应列出 静力平衡方程和变形协调方程，以确定各段轴力的大小，然后再计算各 解：1、静力平衡 段中应力。 方程 AC 段受拉，CD、DB 段受压，可设上端截面 约束反力 在 F 力作用下， 为拉力 F1，下端截面约束反力为压力 F2 ，它们的方向如图示。 于是杆 AB 的静力平衡方程 F1 + F2 − F = 0 (a) 2、变形协调方程：静不定问题需要补充方程才能确定各力。补 充方程一般从变形协调条件中寻找。本题中，由于 A、B 两端的 约束，AB 段的总变形为零，此即变形协调条件。设 AC、CD、 DB 段变形分别为 AC ∆l ， CD ∆l 和 DB ∆l ，则有 ∆l AC − ∆lCD − ∆lDB = 0 (b) 3、利用物理关系，用力表示变形协调方程 F1 A 钢 a C B D 铜 F2 F a 2a 题 2 图 22

容易确定AC、CD、DB段的轴力分别为F1、F2、F2。由胡克定律知 F F 2 EA, ErA EA 代入(b)式,得到 F1·aF2:aF2·2a E1A1E141E240 F1-F2 2F. 210×10°Pa×200×10-4m2100×10°Pa×100×10-4m F1=94F2 4、联立求解:联立式(a)、式(d),解得 上端反力:F1=904kN(拉)下端反力:F2=96kN(压) 5、计算各段杆中的应力 FI 904×103N O AC Ay 452×10°Pa=452MPa(拉) 00×10 F,96×103N 48×10°Pa=48MPa(压) A1200×10-m2 A2100×10-m296×105Pa=96MPa 讨论:如果开始时假设AC、CD、DB段轴力均为拉力,则式(a)变为F1-F2-F=0,式 (b)变为M+Mlo+Ml=0,求解后F1=904kN,F2=-96kN,与前面结果一致 所以,在列变形协调方程时,要注意变形与引起变形的力的方向一致,否则容易出错。 3图示支架承受载荷F=10kN。1,2,3各杆由同一种材料制成,其横截面面积分别为 A1=100mm2,A2=150mm2和A3=200mm2。试求各杆的轴力。 解题分析:本题未知力为3根杆的轴力,而有效平衡方程只有两个,为一度静不定问题,需 要补充一个变形协调方程,才能确定各杆轴力 解:1、列静力平衡方程 设1、2杆受拉,3杆受压,它们的轴力分别为F、F2和F3,研究A点平衡,得

容易确定 AC、CD、DB 段的轴力分别为 F1、 F2 、 F2 。由胡克定律知 1 1 1 E A F a l ∆ AC = ， 1 1 2 E A F a l ∆ CD = ， 2 2 2 2a E A F l ∆ DB = 代入（b）式，得到 0 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 = ⋅ − ⋅ − ⋅ E A F a E A F a E A F a (c) 0 100 10 Pa 100 10 m 2 210 10 Pa 200 10 m 9 4 2 2 9 4 2 1 2 = F − F × × × − × × × − − F (d) 4、联立求解：联立式( 反力： 1 4 2 F = 9. F a)、式(d)，解得 上端反力： F1 = 904 kN (拉) 下端 F2 = 96 kN (压) 5、计算各段杆中的应力 45.2 10 Pa 45.2 MPa 200 10 m F1 904×10 N 6 4 2 3 1 = × = × = = − A σ AC (拉) 4.8 10 Pa 4.8 MPa 200 10 m 96 10 N 6 4 2 3 1 2 = × = × × = = − A F σ CD (压) 9.6 10 Pa 9.6 MPa 100 10 m 96 10 N 6 4 2 3 2 2 = × = × × = = − A F σ DB (压) 讨论：如果开始时假设 AC、CD、DB 段轴力均为拉力，则式（a）变为 F1 − F2 − F = 0 ，式 （b）变为 ∆l AC + ∆lCD + ∆lDB = 0 ，求解后 F1 = 904 kN ， F2 = −96 kN ，与前面 所以，在列变形协调方程时，要注意变形与引起变形的力的方向一致，否则容易出错。 3 图示支架承受载荷 F = 10 kN。1，2，3 各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别 结果一致。 为 解题分析：本题未知力为 3 根杆的轴力，而有效 一度静不定问题，需 杆受压，它们的轴力分别为 、 和 ，研究 A 点平衡，得 2 A 1=100 mm ， 2 A2 =150 mm 和 2 A 3= 200 mm 。试求各杆的轴力。 平衡方程只有两个，为 要补充一个变形协调方程，才能确定各杆轴力。 解：1、列静力平衡方程 FN1 FN2 FN3 设 1、2 杆受拉，3 23

∑F cos30°+ cos 30 或√FN1+2FN2=√FN3 ∑F,=0,F1sin3°+F3sin30=F 或FN1 2、列变形协调方程 为找到各杆变形之间的几何关系,关键是画 出变形图。画法如下:首先根据直观判断画出 变形后A点的位置A;画1、2杆的延长线(因 FN2=30 为1、2杆受拉伸长);从A点分别向1、2杆 FN 延长线和3杆作垂线,分别交于点A1、A和A4 则A1=M1,AA2=M2,AA4=△l3 另作辅助线如图示,则有ab=Ac-Aa-bc 即 tan30°sin30°sin30°tan30 或√3△2=2△l1-2△l3-√3△2 题3图 整理得√3△2=M1-△3 3、利用物理关系,用力表示变形协调方程 2 (d) EA2 将(d)代入(c)得 FN2 2FNI 2FN3 √3A1√343 将各杆横截面面积值代入整理,得 2 Fn-F 4、联立求解:联立式(a)、(b)、(ce)解得 F=0.845F=845kN

∑ = 0 Fx ， D D cos30 cos30 FN1 + FN2 = FN3 1 或 3FN1 + 2FN2 = 3FN3 (a) F 30O 2 A ∑ = 0 Fy ， F + F = F D D sin 30 sin 30 N1 N3 30O 或 FN1 + FN3 = 2F (b) 3 2、列变形协调方程 l 为找到各杆变形之间的几何关系，关键是画 出变形图。画法如下：首先根据直观判断画出 变形后 A 点的位置 ；画 1、2 杆的延长线（因 为 1、2 杆受拉伸长）；从 点分别向 1、2 杆 延长线和3杆作垂线，分别交于点 A1、 2 和 3 ； A' ' 则 A A A AA1 = 1 ∆l ， 2 = 2 AA ∆l ， 3 = 3 ∆l (a) F AA 另作辅助线如图示，则有 ab = Ac − Aa − bc 即 ° − ° − ° = ° tan 30 ∆ sin 30 ∆ sin 30 ∆ tan 30 ∆ 2 1 3 2 l l l l 或 3∆ 2 2∆ 1 2∆ 3 3∆ 2 l = l − l − l 整理得 3∆ 2 ∆ 1 ∆ 3 l = l − l (c) 3、利用物理关系，用力表示变形协调方程 1 N1 1 3 2 ∆ EA F l l = ， 2 N2 ∆ 2 EA F l l ⋅ = ， 3 N3 3 3 2 ∆ EA F l l = （d） 将（d）代入（c）得 3 N3 1 N1 2 N2 3 2 3 3 2 A F A F A F = − 将各杆横截面面积值代入整理，得 2FN2 = 2FN1 − FN3 (e) 4、联立求解：联立式(a)、(b)、(e)解得 0.845 8.45 kN 3 2 3 2(1 3) N1 = = + + F = F F (拉) FN1 30O FN2 A 30O FN3 (b) A ∆l2 ∆l3 ∆l1 a b c 30O A2 A3 A1 A＇ (c) 题 3 图 24

F=0.268F=268kN (拉) F3=2+F=1153F=115N(压E) 讨论:解该题的关键是画变形图,找到各变形间的几何关系。本题中开始时假设3杆受压 画变形图时应注意,3杆的变形必须是压缩变形,这样才能列出正确的变形协调方程 4图示刚性梁AB受均布载荷作用,梁在A端铰支,在B点和C点由两根钢杆BD和CE支 承。已知钢杆的横截面面积AB=200mm2,Ag=400mm2,其许用应力a]=170MPa 试校核钢杆的强度 解题分析:该题未知力为:A点的两个约束 反力,两杆的轴力,共四个,而有效平衡方 程只有三个,所以为一度静不定问题。需要 t 补充一个变形协调方程,才能确定各杆轴 力 解:1、列静力平衡方程 取AB梁为研究对象。设CE杆受压 DB杆受拉,其轴力分别为FNCE、FNBD 以A点为中心取矩,则A处的两个未知力 B 30 kN/m Fx和FA不出现在平衡方程中,可以简化 计算。 ∑ FCE×1m-30kNm×3m×1.5m-3mxFN,BD=0 即FNCE=135KN-3FN,BD 2、变形协调方程 题4图 根据变形图MLD=3MLg 3、用力表示变形协调方程:利用杆变形与轴力间的物理关系,式(b)可写为 1.8L L 200×10-6m2×E400×10-6m2×E

0.268 2.68 kN 3 2 3 3 N2 = = + F = F F (拉) 1.153 11.53 kN 3 2 3 2(2 3) N3 = = + + F = F F (压) 讨论：解该题的关键是画变形图，找到各变形间的几何关系。本题中开始时假设 3 杆受压， 画变形图时应注意，3 杆的变形必须是压缩变形，这样才能列出正确的变形协调方程。 4 图示刚性梁 AB 受均布载荷作用，梁在 A 端铰支，在 B 点和 C 点由两根钢杆 BD 和 CE 支 承。已知钢杆的横截面面积 ADB = 200 mm2 ， ACE = 400 mm2 ，其许用应力[σ ] = 170 MPa ， 试校核钢杆的强度。 解题分析：该题未知力为：A 点的两个约束 反力，两杆的轴力，共四个，而有效平衡方 程只有三个，所以为一度静不定问题。需要 补充一个变形协调方程，才能确定各杆轴 力。， 解：1、列静力平衡方程 取 AB 梁为研究对象。设 CE 杆受压、 DB 杆受拉，其轴力分别为 、 。 以 A 点为中心取矩，则 A 处的两个未知力 和 不出现在平衡方程中，可以简化 计算。 FN,CE FN,BD FAx FAy ∑ M A = 0 ， 即 (a) 2、变形协调方程 FN ,CE = 135 kN − 3FN , BD 根据变形图 (b) ∆LDB = 3∆LCE 3、用力表示变形协调方程：利用杆变形与轴力间的物理关系，式（b）可写为 E F L E F BD L CE × × × × = × × × − −6 2 N, 6 2 N, 400 10 m 3 200 10 m 1.8 1.8L D 1 m E C 30 kN/m A L 2 m B D 30 kN/m 题 4 图 B C A E B 1 m 2 m ∆LCE ∆LDB FBy F’ By 1m 30 kN/m 3 m 1.5 m 3 m 0 FN, CE × − × × − × FN ,BD = 25