P(x)=Pr(X=x)=Ci-1 0,1 012345678910 1074 020 0055 0001 0000 268.2013 0261 0008 0000 累积函数F(x)一般有以下两个显然成立的性质 1)对所有的x有0≤F(x)≤1 2)对x1<x2的x1,x2F(x:)≤F(x2) 问题1将写上1到5的五个号码的卡片混合后任取两 张,两张号数的和作为一个随机变数时,求p(x)与F(x) 问题2某机器装有6个继电器。在任一瞬间将开关合 上,继电器不能工作的概率为01每个继电器工作与否是独 立的。某一瞬间合上开关,不工作的继电器的个数为一个随机 变量,求p(x)与F(x)。(提示:参考例4) 1·3·3离散随机变数的例子 a)二项分布随机变数X取值0,1,…,n的概率P(x)由 下式给出时,称X为服从二项分布的 p(x)=C,p2(1-p)”,x=0,1,2,…,;0<p<1 (7) 前节的例4是(7)中=10,P=的情况 例5从装有20个白球、30个红球的罐子里任取一球,看 下它的颜色再放回去,混合好后再取一个看一下颜色。求取 出白球的次数为0,1,2的概率 【解】这是(7)式中n=2,p 20 50 04的情形。所以 p(0)=(1-04)2=0.36 26·
5(1)-2×0.4×(1-0.4)=0,48 p(2)=(0.4)2=0.16 作为二项分布的重要应用,考虑从次品率为p的某种产品 中,独立地逐个任取个来检查吋,其中次品的个数就是一个随 机变数,它服从二项分布 例6从次品率为20%的生产过程中,随机地逐个取10件 产品进行检查,查出次品的次数X服从二项分布,概率函数值 如下((7)中#=10,户=0,2的情形), 力(x 0.820=.10738 10×0.83×0.2=.26844 45×0.86×0.2 120×0.81×0.2 210×0,86×0.24=.(8808 252×0.85×0.25=,02642 6 210×0.84×0.26=,00550 120×0.83×0,27=,00079 45×0.82×0,2 0×0.8×0,23=,0000 10 000000 项分布的有关数值列在卷末附表1中。 问题3某种火箭发射成功率为80%,发射扌枚时,用二 项分布求3枚发射成功的概率 问题4某种产品加工中,次品率为01,求加工20个中, 其中次品在3个以下的概率 二项分布的图形如图1·11几个图所示
图1·11 由图1·11可知,P=0.5时,二项分布的图形对于x=左 右对称,p不等于0·5时,图形就偏倚了.但p=0.25与p= 075的两个图形中,一个是另一个关于5对折(对称产生的) 这可考虑成(7)中p与1一户交换的情形。因此卷末的项 分布表仅列到P=0.5为止。如要P=075的结果,可从p 025一栏将x=0,1,…,n倒过来,将丌换成0,丌-1换成 1,…,1换成葬-1,0换成n来查阅数值就行了(就问题 1来练习一下这个作法) b)超几何分布随机变数Ⅹ按下式那样给出取0,1, ,#各值的概率P(x)时,称它是服从超几何分布的.即 、/N-M P(x) 0<≤M<N 例7某箱中装A公司制造的晶体管4个与B公司制造的 b个混在一起。从中任取〃个时,求有A公司制造的x个的概 率 【解】由超几何分布得 b 4+5 0<#≤min 例8前节末的习题12的问题1的结果服从N=20,M= 28
6,#=5的超几何分布。 例9例5中从装有20个白球,30个红球的罐子里随手取 出两个球时,求取出0,1,2个白球的概率 【解】由N=50,M=20,7=2的超儿何分布得 (0)=(20)/30 0 7x30×29/50×49 2×1/×1=0.355 p(1)=(20)()/(2)=290882=20=0.490 P(2)=(20)/80 2八0 )/( 50\20×19_38 50×49245 =0.155 超儿何分布中N很大时,可用M/N=p的二项分布来近 似表示 事实上 )x团=)1N(A)(N=M+8 N-M (x)= MI(N-M) x个因子 (M-1)…(M N(N-1) (n-x)个因子 (N-M)(N-M-1)…(-M-+x+1) (N-#+1) (n-x)!x!
(-M)(p-x N 丌-x-1 (1-p)(1-P 1-p N p(1-P 问题5为证明超几何分布中∑(x)=1,证明二项系数 的以下性质。 M\N-M 0<M<N 问题6叙述超几何分布当N→∞时归结为二项分布的 意义 c)普阿松分布随机变数Ⅹ取0以及正整数值的概率 户(x)由下式给出时,称Ⅹ服从普阿松分布,即 P(x)=6 0,1,2,…邡>0 (9 可展成以下的级数 1+二+ 1!2!3! 从而 1=m+a 所以由(9)可得到