第三章函数逼近 问题的提出 如果实际问题要求解在[a区间的每一点都“很 好地”逼近f(x)的话,运用插值函数有时就要失败 另外,插值所需的数据往往来源于观察测量,本身 有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差 的点,势必使插值结果更加不准确。 2004-10-18
2004-10-18 1 第三章 函数逼近 一、问题的提出 如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很 好地” 逼近 的话，运用插值函数有时就要失败。 另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身 有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差 的点，势必使插值结果更加不准确。 f (x)
问题的提出(续) 设n(x)为f(x)的 Taylor级数的前n项部分和, 其截断误差为 (n+1) R, (x)=f(x)-p,(x)= (5) n+1 X-X 0 (n1) 为了照顾到远离x的点其误差也较小,往往将阶 数n取得很大。 这样做又费事、又多占存贮单元。因此往往要 求在给定精度下,求形式简单的计算公式,使其均 匀地逼近fx)。这就是函数逼近要解决的问题 2004-10-18 2
2004-10-18 2 问题的提出（续） 0 为了照顾到远离x 的点其误差也较小，往往将阶 数n取得很大。 ( ) ( , ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x x x nf R x f x p x n n n n − ∈ + = − = + + ξ ξ 设p (x) n 的Taylor级数的前n项 部分和, 其截断误差为 为f (x) 这样做又费事、又多占存贮单元。因此往往要 求在给定精度下，求形式简单的计算公式，使其均 匀地逼近f(x)。这就是函数逼近要解决的问题
二函数逼近问题 已知复杂函数x),或仅知道函数x)在某些采 样点处的函数值,在某函数集合V中,寻找的“最好” 地近似x)的函数g'(x)∈,就是函数逼近问题。 集合V中的元素应该是计算量小的简单函数,且 应该具有近似函数fx)的重要性质。 函数逼近问题对函数类中给定的函数f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函数类V中,求 函数(x)∈V,使得q(x)与f(x)之差在某种度量意 义下最小 2004-10-18
2004-10-18 3 二 函数逼近问题 (x)∈V * ϕ 已知复杂函数f(x)，或仅知道函数f(x)在某些采 样点处的函数值，在某函数集合V中，寻找的“最好” 地近似f(x)的函数 ，就是函数逼近问题。 集合 V中的元素应该是计算量小的简单函数, 且 应该具有近似函数f(x)的重要性质。 函数逼近问题: 对函数 V 类中给定的函数 f (x) ， 要求在另一类较简单的便于计算的函数类Ｖ中，求 (x)∈V ⊂ V * ϕ ( ) * 函数 ϕ x f (x) ,使得 与 之差在某种度量意 义下最小
函数逼近问题(续) 通常为cb为代数多项式、分式有理函数、 三角多项式。 集合V通常是依赖于一组参数的函数族,代表元素 q(x)有如下形式: x XCA.C 当q(x)线性地依赖于参数{c=0时,即 q(x)=c00(x)+c11(x)+…+CnOn(x) 其中q0(x)1(x)…,n(x)是线性无关的,函数族 V=span{2q2…on是一个n+1维的线性空间 2004-10-18
2004-10-18 4 函数逼近问题（续） 通常V 为C[a,b],V 为代数多项式、分式有理函数、 三角多项式。 当ϕ(x)线性地依赖于参数{ } 时, 即 n i i c =0 ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x = c 0ϕ0 x + c1ϕ1 x +L+ cn ϕn x 其中ϕ0 (x),ϕ1 (x),L,ϕn (x) 是线性无关的, 函数族 集合V通常是依赖于一组参数的函数族, 代表元素 ϕ(x) 有如下形式： ( ) ( ; , , , ) 0 1 n ϕ x = ϕ x c c L c V = span{ } ϕ0 ,ϕ1 ,L,ϕn 是一个n +1维的线性空间
主要内容 赋范空间、内积空间、正交多项式 ■最佳平方逼近 曲线最小二乘拟合 最佳一致逼近(工科研究生不要求) 2004-10-18
2004-10-18 5 主要内容 赋范空间、内积空间、正交多项式 最佳平方逼近 曲线最小二乘拟合 最佳一致逼近（工科研究生不要求）