第一章概率论基础 所谓概率,是研究不确定事件发生的“确定程度 的一个概念。为此我们首先要着眼于学习描述什么样 的事件, 概率这个词平时常用到它,但在没有把它作为一 个数学分支处理以前,使用它还不能说有一个明确的 概念。不按照系统地建立起的理论体系来重新看待每 个现实对象,是无法应用的。 工程专业方面应用概率的重要性,已经是不必解 释的常识了。特别是在质量控制、可靠性等分支里, 把伴有随机变动的现象作为直接研究的对象。 避免不了随机变动的生产问题,或者产品性能问 题,都是工程里不可以忽视的,必须进一步解决的问 题 第一章作为试图解决这些间题的第一步,叙述了 建立随机思想的基本概念以及它们的数量化问题 1·1样本空间·事件 111事件某试验结果一切可能发生的情况的总体叫 做样本空间,用S来表示。样本空间是每个发生结果—叫做 s的元素的集。 将这些元素写成E1E3,…,E时,因S是以此为元素 1)暂时设S是由有限个元素构成的,13·3再把S扩充到无限个元紊
的集,故可写成 S={E,E2,…,En} (1) 例1在掷一次骰子的试验里,规定 E;=出现氵点,i=1,2,…,6 S={E,E2, E6} (2) 例25个试样检验用通过、不通过的尺度来检查。规定 E1=5个中间有个通过,z=0,1,2 S={E,E1,E2…,E3} (3) S的子集叫事件。例1中“出现偶数点”的事件就是子 集{E2EE},例2中“3个以上通过”的事件是子集 KE, E est S的元素本身也可以说成是事件(基本事件)·例如例1 中“出现6点”的事件可考虑成仅由元素E。构成的子集 一个试验的样本空间不能说是唯一的。例如例1中令 F1=出现奇数点,F2=出现偶数点 时,则有 S={F1,F2} 4) 但F1实际上是例1中(2)式的{E,EE},F2是{E E,E}。这样,(4)式是从(2)推导出的表达形式.这 种情况,可以说(2)式是比(4)式更为基本的表达形式 构成样本空间的集的元素是什么,什么样的子集能定为事 件等,要在解决问题时,对该问题用适当的标准来考虑。这些 技巧要从例题和习题求解中学到 1·1·2事件的运算事件与事件之间规定有和,积,非 三种运箅。二埻件进行这些运算的结果,仍是一个事件 设A、B、C等表示事件.以上运算的忠义如下
事件之和:或是事件A发生,或是事件B发生的事件(事 件A与事件B同时发生的情形也在内) 事件之积:事件A与B同时发生的事件。 事件之非:事件A未发生。 事件之非,即事件A未发生是指属于样本空间S,但不属 于事件A的事件发生了 如下规定和、积、非的运算符号。 事件之和:∪B 事件之积。A⌒B 事件之非:A=1 例3在掷一次骰子的试验中,样本空间S由(2)式确 定。此时事件A,B是 A=個偶数点发生 B=4以上的点数发生 时,它们的和,积,非分别由如下元素构成、 小B={E2,E4B3,E A∩B={E,E6} A={E1,E3,E} B={E;,E2,E2} 问题1事件A、B如下定义。 A=甲去学校 B=乙去学校 此时,(1)A∪B,(2)A∩B,(3)A∩B分别表示什么 事件 问题2事件A、B如下定义 A=开关A发生故障 1)A右上方的表示余事件( complement)的字头,也有写成d的。A 表示S中不属于d的点对应的事件,写成S-A也行。因此,如不定义样本空 间S,则无法明确地定义A 上 ………
B=开关B是正常的 此时,(1)4B,(2)A∩B,(3)A∩B分别表示什 么事件 问题3事件A、B如下定义 A:机器正常 B=操纵设备正常 此时,试用以上运算符号表示事件“机器正常但认为操纵设备 反常” 对于和、积、非三种运算有以下八个关系式成立 〔1)A∪B=B∪A 2)(A)c 〔3)A(B∪C)=(A∪B)G 〔4]AB=(AB),或由〔2(AB)=A∪B 〔5]A(B∩C)=(AB)门(AC 〔6]A∩A=中" 〔7AS=A 〔8〕Ay 对于这些关系,还可以补充以下的关系。 9)A⌒B=B⌒A 10〕A(B∩C)=(AB)个C 11]A∪B=(A^B,或(A∪B)=A^B 〔12〕A(BUC)=(AB)(AC) 〔13〕A∪A°=S 14〕AS=S 15A=φ 9~[15这些关系是将〔1~[8)(除去!2]) 的关系中的换成∩,∩换成∽得到的 1)巾表示空事阼(不可能事件),即样木室中没有与它对应的元素的事件
例如关系〔9〕中 左边由〔4〕与〔1)得AB=(B∪4) 右边由〔4〕)得 B!A:(BUAc 所以得到 A⌒B=B∩A 9〕 因而有了〔1〕与〔4〕也可以不要〔9 以上诸关系是作为事件运算的基本关系列出的。此外还可 以推导提各种各样的关系。例如 由〔5〕可得A(AA)=(AA∩(AA) 由〔6〕、(13〕得Aφ=(A4)∩S 由〔8)得到 A中=A 由〔7〕得到 (A4)∩S=A1∪A 由〔9〕,〔13〕得A∪A=A 等等。 问题4问题1的事件中补加一个事件 C=丙去学校 时,下边的事件中去学校的有几个人? (1)A∩(B∪C)(2)Au(B∪C)(3)(AB)C 问题5问题2的事件中补加一个事件 C=开关C发生故障 时,设所考虑这套设备的A,B,C三个开关中有两个或两 个以上正常工作,则这套设备就能运转。以下哪一个情况设备 能正常运转? (1)A∩(B∩C)(2)A(B∩C)(3)A∩(Buc) 问题6问题3的事件中补加事件 C=操纵使用正确 时,试用事件及运算的符号表达“操纵设备与机器都不正常, 但操纵使用正确”的事件 问题了证明以下关系式成立 (1)4、B=[A4-(AB)]∪B 5