第四章数值积分与数值微分 §1数值积分概述 §2 Newton cotes公式 §3 Romberg求积法 §4 Gauss型求积公式 §5数值微分 2004-11-1
2004-11-1 1 第四章 数值积分与数值微分 §1 数值积分概述 §2 Newton Cotes 公式 §3 Romberg求积法 §4 Gauss型求积公式 §5 数值微分
§4.1数值积分概述 由积分学基本定理 Newton- Leibenize公式有: f(xdx= F(b-F(a) 但在应用中常会碰到如下情况: ①x)的原函数无法用初等函数给出 ②2x)用表格形式给出 ③虽然(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂 2004-11-1 2
2004-11-1 2 §4.1 数值积分概述 由积分学基本定理Newton-Leibenize公式有： f (x)dx F(b) F(a) b a = − ∫ 但在应用中常会碰到如下情况： ①f(x)的原函数无法用初等函数给出 ②f(x)用表格形式给出 ③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂
求积公式 "f(x)d≈∑Af(x) k=0 =(xk=∑4(x)+门=ln+ 其中R称为求积公式的余项,xk(k=0,1,2,…n) 称为求积节点,Ak(k=0,1,2,…n)称为求积系数。 Ak仅与求积节点xk的选取有关,而不依赖与被积 函数f(x)的具体形式。 2004-11-1
2004-11-1 3 ∫ ∑ = = ≈ = n k k k n b a I f x dx A f x I 0 ( ) ( ) ∫ ∑ = = = + = + b a n k k k n I f x dx A f x R f I R f 0 ( ) ( ) [ ] [ ] 一 .求积公式 其中R[f]称为求积公式的余项，x (k 0,1,2, n) k = L 称为求积节点，A (k 0,1,2, n ) k = L 称为求积系数。 k x Ak仅与求积节点 的选取有关，而不依赖与被积 函数f(x)的具体形式
求积公式的代数精确度 衡量一个求积公式好坏的标准。 定义:如果求积公式()=∑4x) 对于一切不高于m次的代数多项式准确成立 而对于某个m+1次多项式并不准确成立, 则称上述求积公式具有m次代数精确度,或称 为具有m次代数精度。 2004-11-1
2004-11-1 4 二.求积公式的代数精确度 衡量一个求积公式好坏的标准。 ∫ ∑ = ≈ b a n k k k f x dx A f x 0 定义：如果求积公式 ( ) ( ) 对于一切不高于m次的代数多项式准确成立， 而对于某个m+1次多项式并不准确成立， 则称上述求积公式具有m次代数精确度，或称 为具有m次代数精度
求积公式的代数精确度(续) 如果要构造具有m次代数精度的求积公式, 只要令它对于f(x)=1,x,x2,…,xm 都能准确成立即可。 (a+ax+…+anx)=∑4(a+axk+…+anx) k=0 dx+a1xdx+…+anb|xax a∑4+a∑4x+…+an∑4x 2004-11-1
2004-11-1 5 求积公式的代数精确度（续） 如果要构造具有m次代数精度的求积公式， m f (x) 1, x, x , , x 只要令它对于 = 2 L 都能准确成立即可。 ∫ ∑ = + + + = + + + n k m k k m k b a m m a a x a x dx A a a x a x 0 0 1 0 1 ( L ) ( L ) ∫ ∫ ∫ ⇔ + + + ba m m ba ba a dx a xdx L a b x dx 0 1 ∑ ∑ ∑ = = = = + + + n k m m k k n k n k k k k a A a A x a A x 0 0 0 0 1 L