第六章 解线性代数方程组的迭代法 §6.1向量和矩阵序列的极限 §6.2迭代法的基本理论 §6.3几种常见的迭代法 2004-11-10
2004-11-10 1 第六章 解线性代数方程组的迭代法 §6.1向量和矩阵序列的极限 §6.2 迭代法的基本理论 §6.3 几种常见的迭代法
§6.1向量和矩阵序列的极限 极限的概念 1向量序列收敛 定义:设是R"中的向量序列,若有 向量x∈R",使 m-x-0 则称}收敛于x。记为 lim x (k)=x k Remark:上面的收敛性实际上和范数的选择无关。 (范数的等价性) 2004-11-10 2
2004-11-10 2 §6.１向量和矩阵序列的极限 一 .极限的概念 1.向量序列收敛 设{ }是 中的向量序列，若有 (k ) xv n R 向量 ，使 n x ∈ R r* 定义： lim 0 ( ) * − = →∞ x x k k v v 则称{x (k )}收敛于 。记为： v * xv ( ) * lim x x k k v v = →∞ Remark：上面的收敛性实际上和范数的选择无关。 （范数的等价性）
2矩阵序列收敛 定义:设{4是Rm中的矩阵序列, 若有A∈Rm,使lm40-4 0,则称{ → 收敛于A,记为 Im Remark:上面的收敛性也和范数的选择无关。 2004-11-10
2004-11-10 3 ２.矩阵序列收敛 设 是 中的矩阵序列， 若有 ，使 ，则称 收敛于 ，记为 { } (k ) A n n R × n n A R × ∈ lim 0 ( ) − = →∞ A A k k { } (k ) A A 定义： A A k k = →∞ ( ) lim Remark：上面的收敛性也和范数的选择无关
序列收敛的等价条件 1向量序列收敛的等价定理 设(6)=( (k)-(k) (k) x 1:2 则lim)=x的充要条件是: →)00 limx (k) 1 2004-11-10
2004-11-10 4 二.序列收敛的等价条件 设 ， 则 的充要条件是： k T n k k k x (x , x , , x ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) L v = T n x (x , x , , x ) * * 2 *1 * L v = ( ) * lim x x k k v v = →∞ 1.向量序列收敛的等价定理 * lim i k i k x x v v = →∞ （ ） （i =1,2,L,n）
序列收敛的等价条件(续) 证明:充分性limx4=x(i=1,2…,n) lim maxx()-x:=0 ImIx k→∞1<i<n k→ 由范数的等价性, x x‖≤cx()-x 有 lim maxx 0 mx 2004-11-10
2004-11-10 5 序列收敛的等价条件（续） * k lim i k i x x v v = →∞ 证明：充分性 （ ） （i =1，2,L,n） lim max 0 ( ) * 1 − = →∞ ≤ ≤ i k i k i n x x lim 0 ( ) * − = →∞ ∞ x x k k v v 由范数的等价性， ∞ ≤ − ( ) * 2 c x x r k r ∞ − ( ) * 1 c x x v k v ( ) * x x v k v ≤ − 有 lim max 0 ( ) * 1 − = →∞ ≤ ≤ i k i k i n x x ( ) * lim x x k k v v = 即 →∞