第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 §8.0问题描述 §8,1乘幂法与反幂法 §82雅可比方法 §83OR方法 §8.4求实对称三对角矩阵特 征值的二分法 2004-12-1
2004-12-1 1 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 •§8.0 问题描述 •§8.1 乘幂法与反幂法 •§8.2 雅可比方法 •§8.3 QR方法 •§8.4 求实对称三对角矩阵特 征值的二分法
§80问题描述 设A为n×n矩阵,所谓A的特征问题是求数和非零向 量x,使 a x= 1x 成立。数λ叫做A的一个特征值,非零向量x叫做与特 征值λ对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 (4-n)x=0有非零解的数和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式e(A-n)=0的 零点而得到,然后通过求解退化的方程组(A-)x=0 而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时,这种方法极为 困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征向 量比较有效的方法是迭代法和变换法。 Back 2004-12-1
2004-12-1 2 §8.0 问题描述 设A为n×n矩阵，所谓A的特征问题是求数λ和非零向 量x，使 Ax＝ λx 成立。数λ叫做A的一个特征值，非零向量x叫做与特 征值λ对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 (A- λI)x=0有非零解的数λ和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式det(A- λI)=0的 零点而得到λ ，然后通过求解退化的方程组(A- λI)x=0 而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时，这种方法极为 困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征向 量比较有效的方法是迭代法和变换法。 Back
§8.1乘幂法与反幂法 乘幂法 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法, 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量 设实矩阵A的特征值为1,A2,…,2,相应的特征向 量xx2,…,x线性无关。设A的特征值按模排序为: 则对任一非零向量V0)∈R;可以得到: x1十a,X2+…+anX ∑ 令H=AV(,k=02…;可以构造一个向量序列 (0) =A1a1x1+,a2x2+…+,anx n nn ∑ 2004-12-1
2004-12-1 3 §8.1 乘幂法与反幂法 一、乘幂法 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法， 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量。 λ1 ≥ λ2 ≥L≥ λn ∑ = = = + + + = n j n n n j j j V AV a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 2 (1) 0 λ λ L λ λ （ ） 设实矩阵A的特征值为λ1，λ2，…, λn，相应的特征向 量x1, x2 ,L, xn 线性无关。设A的特征值按模排序为： ∑ = = + + + = n j n n j j V a x a x a x a x 1 1 1 2 2 (0) L 则对任一非零向量 ，可以得到： n V ∈ R (0) 令 , 0,1,2,L，可以构造一个向量序列， ( 1) ( ) = = + V AV k k k
乘幂法(续) 1)=A=ax+a2x2+…+x=∑ax V6=41=1ax+1a2x2+…+2anxn=∑ 下面分四种情况讨论: 4>1 (k) A(a1x1+2(n)a,x,) 若a≠0由于<1(≥2,故k充分大时, V6)=(ax+6)≈a1x1 2004-12-1
2004-12-1 4 乘幂法（续） ∑ = = = + + + = n j n n n j j j V AV a x a x a x a x 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 (2) 1 λ λ L λ λ （ ） M ∑ = − = = + + + = n j j j k n n j k n k k k k V AV a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 1 λ λ L λ λ （ ） 下面分四种情况讨论： ( ( ) ) 2 1 1 1 1 ( ) ( 0 ) ∑ = = = + n j j j k k k j k V A V a x a x λ λ λ ( 2,3, , ) λ1 > λ j j = L n 若 由于 1( 2)，故k充分大时， 1 < i ≥ i λ λ 0, a1 ≠ 1 1 1 1 1 1 ( ) V (a x ) a x k k k k = λ +ε ≈ λ 1
乘幂法(续) (k) 是相应于λ的近似特征向量 设表示V的第个分量。 (k+1) C1(x1),+(E 3x4a1(x1)+(E) Remark:具体计算时,ⅴ⑩)的选取很难保证一定有 αx1≠0。但是,由于舍入误差的影响,只要迭代次数 足够多,如Vm=ax1+a2x2+…+anxn,就会有 d1≠0,因而最后结论是成立的。对于=0的情形 由于对任意均有上面的结论,故只要取另外的使 哪辱0 2.主特征值是实数,但不是单根, 2004-12-1
2004-12-1 5 乘幂法（续） (k ) V 是相应于λ1的近似特征向量 设 表 Vl(k ) 示 V (k )的第l个分量。 l n a x a x V V l k l k l k l k k l k l , 1,2, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) ≈ = L + + = + + + λ λ ε λ ε （ ）（ ） （ ）（ ） 2.主特征值是实数，但不是单根，如 λ1 = λ2 =L= λr 而 ， λ1 > λr+1 ≥L≥ λn 则 Remark:具体计算时，V(0)的选取很难保证一定有 α1≠0。但是，由于舍入误差的影响，只要迭代次数 足够多，如 ，就会有 ，因而最后结论是成立的。对于 的情形， 由于对任意l均有上面的结论，故只要取另外的l使 即可。 n n m V = a′ x + a′ x +L+ a′ x 1 1 2 2 ( ) a1 ′ ≠ 0 0 ( ) = k Vl 0 ( ) ≠ k Vl