第九章 常微分方程初值问题的数值解法 §9,1引言 §9,2 Euler方法 §9.3 Runge-Kutt公式 §9,4单步法的进一步讨论 §9.5线性多步法 数值算例 2004-12-13
2004-12-13 1 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 §9.1 引言 §9.2 Euler方法 §9.3 Runge –Kutta 公式 §9.4 单步法的进一步讨论 §9.5 线性多步法 数值算例
§91引言 问题 本章着重讨论一阶常微分方程初值问题 =f(x, y) dx 在区间[a,b]上的数值解法 这些问题多数情况下求不岀解析解,只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法,如级数解法,逐次逼近法等。另 类称为数值解法,它可以给出解在一些离散点上 的近似值。 2004-12-13 2
2004-12-13 2 §9.1 引言 一、问题 本章着重讨论一阶常微分方程初值问题 = ′ = = 0 0 y x y f x y dxdy y （ ） （ ， ） 在区间[a,b]上的数值解法。 这些问题多数情况下求不出解析解，只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法，如级数解法，逐次逼近法等。另一 类称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上 的近似值
解的存在唯一性 若f(xy)在区域D={≤x≤b,y∈R,上连续,且 关于y满足李普希兹( Lipschitz)条件,即存在常 数L,使 f(x,y1)-f(x,y2)≤L|y 对G内任两个y,y2均成立,其中L是与x,y无关 的常数,则上面的初值问题存在唯一解,且解是连 续可微的。 Remark:在xy)对y可微的情况下,若偏导数有界, 则可取 L= max af(x, y) 此时有 (x,y)∈D (x,y)-/(x3)= 0(xy+2)≤-15介于y与之间。 此时 Lipschitz连续条件显然成立。这是验证该条件 的最简便的方法。 2004-12-13
2004-12-13 3 二、解的存在唯一性 若f （ x,y）在区域 D= ,上连续，且 关于y满足 李普希兹（Lipschitz）条件,即存在常 数 L,使 { a ≤ x ≤ b，y ∈ R } f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ≤ L y 1 − y 2 ， G 1 2 对 内任两个 y , y 均成立，其中 L是与 x,y无 关 的常数,则上面的初值问题存在唯一解，且解是连 续可微的。 Remark：在f(x,y ) 对y可微的情况下，若偏导数有界， 则可取 ，此时有 1 2 ( 1 2 ) 1 2 , 介于y1 与 2之间。 ( , ) ( , ) ( , ) y y L y y y y f x f x y f x y ξ ξ − ≤ − ∂ ∂ − = y f x y L x y D ∂ ∂ = ∈ ( , ) max ( , ) 此时Lipschitz连续条件显然成立。这是验证该条件 的最简便的方法
解的适定性 解的适定性是指解的存在唯一性以及数值稳定性 此处主要是指解对于右端项以及初值的扰动的适 应性。关于适定性有如下的结论: 定理:若f(xy)在区域D=≤x≤b,y∈R上满 足 Lipschitz连续条件,则初值问题是适定的。 四、等价的积分方程 若y(x)是初值问题的解,对方程两边同时积分, 利用初始条件可得: V(x)=y(xo)+f(t,y(o)dt 该方程为与初值问题同解的积分方程,我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式 2004-12-13
2004-12-13 4 三、解的适定性 解的适定性是指解的存在唯一性以及数值稳定性。 此处主要是指解对于右端项以及初值的扰动的适 应性。关于适定性有如下的结论： 定理：若f（x,y）在区域D= 上满 足Lipschitz连续条件，则初值问题是适定的。 {a ≤ x ≤b，y∈R} 四、等价的积分方程 若y(x)是初值问题的解，对方程两边同时积分， 利用初始条件可得： ∫ = + xx y x y x f t y t dt 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 该方程为与初值问题同解的积分方程，我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式
五、数值解法 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解yx)在存在区间[a,b中的点列 x=x1+h(=0,,n)上的近似值y。h称为步长, 般情况下我们取等步长,记为h 初值问题的解析解(理论解)用υx)表示,数值 解法的精确解用V表示,并记fn(xnyn) 而y(x)=f(xn,y(x2) 求初值问题的数值解一般是逐步进行的,即计 算出yn之后计算yn 2004-12-13
2004-12-13 5 五、数值解法 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解y(x)在存在区间[a，b]中的点列 xi = xi−1 + h（i i = 0，1，Ln）上的近似值y i。hi 称为步长， 一般情况下我们取等步长，记为h 。 ( ) n 初值问题的解析解（理论解）用y x 表示,数值 解法的精确解用 表示，并记fn=f(xn,yn), 而 。 n y ( ) ( , ( )) n n n y′ x = f x y x 求初值问题的数值解一般是逐步进行的，即计 算出yn之后计算yn+1