第七章非线性方程求根 §70简介 §7.1二分法(对分法) §7.2迭代法的基本理论 §7.3迭代的加速收敛方法 §74 Newton迭代法 §7.5弦割法和抛物线法 2004-11-22
2004-11-22 1 第七章 非线性方程求根 •§ 7.0 简介 •§ 7.1 二分法（对分法） •§ 7.2 迭代法的基本理论 •§ 7.3 迭代的加速收敛方法 •§ 7.4 Newton迭代法 •§ 7.5 弦割法和抛物线法
§7.0简介 、问题 求解非线性方程(x)=0 如多项式方程: pn(x)=anx+an1x”+…+a1x+a0=0 困难:方程的解难以用公式表达。 需要一定精度的近似解! 2004-11-22 2
2004-11-22 2 § 7.0 简介 一、问题 求解非线性方程 f(x)=0 ！ 如多项式方程： ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − p x a x a − x a x a n n n n n L 困难：方程的解难以用公式表达。 需要一定精度的近似解！
概念 方程∫(x)=0的解x称为方程∫(x)=0的根或 称为(x)的零点。若()=(x-x)g(x)其中 m为正整数,g()满足()≠0,则显然f()=0 这时称x为f(x)的m重零点,或称x为/(x)=0 的m重根。 定理:若f(x)有m阶连续导数,则x:是f(x) 的m重零点的充要条件为: f(x)=f(x)=…=∫(m)(x')=0,fm(x)≠0 2004-11-22
2004-11-22 3 二、概念 方程 的解 称为方程 的根或 称为 的零点。若 其中 m为正整数， 满足 ，则显然 这时称 为 的m重零点，或称 为 的m重根。 f ( ) x = 0 * x f (x) f (x) = 0 f ( ) x (x x ) g( ) x * m = − g(x) g(x) ≠ 0 ( ) 0 * f x = * x f ( ) x * x f (x) = 0 定理：若 有m阶连续导数，则 是 的m重零点的充要条件为： f (x) * x f (x) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 * * ( 1) * ( ) * = ′ = = = ≠ − f x f x f x f x L m m
概念(续) 证明:必要性 设x是fx)的m重零点,则fx)=(x-x)y(x)且g(x)≠0 f(x)=∑cx-x)yg(x ∑cm(m-1)…(m-i+1)(x-x m-1(m g 当0≤k≤m-1时 (x)=∑cm(m-1)…(Om-i+1(x-x)yg{m(x)=0 当k=m时 f(x)=∑cm(m-1)(m-+1)x-x)ngm"(x) =m!g(x)≠0 2004-11-22
2004-11-22 4 概念（续） 证明 ：必要性 设 是 的m重零点，则 且 * x f ( ) x ( ) ( ) ( ) * f x x x g x m = − ( ) 0 * g x ≠ ∑ [ ] = − = − k i k i m i i k k f x c x x g x 0 ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ∑ = − − = − − + − k i i m i m i k c m m m i x x g x 0 * ( ) ( 1)L( 1)( ) ( ) ! ( ) 0 ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) * 0 ( ) * * * ( ) * = ≠ = ∑ − − + − = − − m g x f x c m m m i x x g x m i i m i m i m k L 当 时 k = m 0 ≤ k ≤ m −1 ( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) 0 0 ( ) * * * ( ) * = ∑ − − + − = = − − k i i m i m i k k f x c m m L m i x x g x 当 时
概念(续) 充分性:设x使得八x)=0, f(x)=0,…,f(m(x)=0,f(m(x)≠0 由 Taylor公式得 f(x)=f(x)+f(x:)(x-x)+…+ x (x-x)+ f (x+e(x-x)) X-x 其中0<0<1。令9(x)=/m(x+(x-x)则有 f(x)=(x-x)"g(x) 且 g(x)=-f(m(x)≠0 根据定义x为f(x)的m重零点 证毕 2004-11-22
2004-11-22 5 概念（续） 充分性： m m m m x x m f x x x x x m f x f x f x f x x x ( ) ! ( ( )) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * * 1 ( 1) * * * * − + − − + − = + ′ − + + − − θ L 由Taylor公式得 0 <θ <1 ( ( )) ! 1 ( ) ( ) * * f x x x m g x m = +θ − ( ) ( ) ( ) * f x x x g x m = − ( ) 0 ! 1 ( ) * ( ) * = f x ≠ m g x m 其中 。令 则有 且 ( ) 0 * f x = ( ) 0, , ( ) 0, ( ) 0 * ( 1) * ( ) * ′ = = ≠ − f x f x f x L m m * 设 使x 得 ， * 根据定义 x 为f (x) 的m重零点。 证毕