第五章解线性方程组的直接方法 §5.0概述 §5.1高斯消去法 §5.2矩阵分解及其在解方程组中的应用 S5.3矩阵的条件数和方程组的性质 2004-11-10
2004-11-10 1 第五章 解线性方程组的直接方法 §5.0 概述 §5.1 高斯消去法 § 5.2 矩阵分解及其在解方程组中的应用 § 5.3 矩阵的条件数和方程组的性质
§5.0概述 研究数值解法的必要性 求: aux,+a,,+.+ainIn=b ax tax++ax=b anx+an2x2t.+am,xn=b 的解xx2x的值,根据克菜姆( Gramer)法则可 表示为两个行列式之比: K k 9-9 D 2004-11-10 2
2004-11-10 2 §5.0 概述 一 .研究数值解法的必要性 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ... ....... ... ... 1 1 2 2 21 2 22 2 2 2 求： 11 1 12 2 1 1 (k 1,2,..., n) DD x K k = = 的解 的值，根据克莱姆(Gramer)法则可 表示为两个行列式之比： n x , x ,...x 1 2
研究数值解法的必要性(续) 计算一个n阶行列式需要做(n-1)m)个乘法,求 解上述方程共做N=(n+1)×(n-1)n)+n次乘除法 如:n=20,N≈97×1020,若用每秒完成万亿次(1012 浮点乘法运算的计算机(当前国内运算速度最快) 按每天工作24小时,完成这些计算约需30年。若使用 般的个人电脑,每秒不外完成十亿次(109)浮点乘法 运算,则完成这些计算约需3万年。 2004-11-10
2004-11-10 3 研究数值解法的必要性（续） 计算一个 阶行列式需要做 个乘法，求 解上述方程共做 次乘除法。 n (n −1)(n!) N = (n +1) × (n −1)(n!) + n 如： ,若用每秒完成万亿次（1012） 浮点乘法运算的计算机（当前国内运算速度最快）， 按每天工作24小时,完成这些计算约需30年。若使用一 般的个人电脑，每秒不外完成十亿次（109）浮点乘法 运算，则完成这些计算约需3万年。 n = 20, 20 N ≈ 9.7×10
二、线性代数方程组的常用解法 1、直接法: 只包含有限次四则运算。若在计算过程中 都不发生舍入误差的假定下,计算结果就是原方 程组的精确解. 2、迭代法: 把方程组的解向量看作是某种极限过程的极限, 而且实现这一极限过程每一步的结果是把前一步所 得的结果施行相同的演算步骤得到的 Remark:由于运算过程中舍入误差的存在,实 际上直接方法得到的解也是方程组的近始解。 2004-11-10
2004-11-10 4 二、线性代数方程组的常用解法 1、直接法： 只包含有限次四则运算。若在计算过程中 都不发生舍入误差的假定下，计算结果就是原方 程组的精确解。 2、迭代法： 把方程组的解向量看作是某种极限过程的极限， 而且实现这一极限过程每一步的结果是把前一步所 得的结果施行相同的演算步骤得到的。 Remark：由于运算过程中舍入误差的存在，实 际上直接方法得到的解也是方程组的近始解
§5.1高斯消去法 设有线性方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=b 十a2X十.+a2X anx,+an2x2+.+amx,=b 或写为矩阵形式A=b,其中 11 12 ln A |为非奇异矩阵.x=3b4 2 2004-11-10
2004-11-10 5 §5.1 高斯消去法 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ... ...... ... ... 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 设有线性方程组 或写为矩阵形式 Ax b，其中 r r = 为非奇异矩阵. = n n nnnn a a a a a a a a a A ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 M M M M = n xxx x ...21 r = n bbb b ...21 r