1·3随机变数 13·1随机变数的定义直到现在,概率的定义与计算 是以样本空间和构成它的点为基础进行的。为便于处理更复杂 情况,建立了确定在样本空间上的随机变数的概念 掷两个骰子的试验的可能结果是图17所表示的36个点。 两个骰子点数的和是对应样本空间各个点确定的函数(图17) 这样,定义在样本空间上各点的函数就是随机变数 这样定义的随机变数在第一个骰子出现1点,第二个骰子 的点数也是1时,即对应图1·7上(1,1)点的值为2。对 应点(2,1),(1,2)的值为3.如此对应36个点有从 2到12共11个值的被确定下来的一个随机变数。 第一个骰子的点数与第二个骰子的点数的和是一个随机变 数,则两个骰子点数之差也是另一个随机变数。它取从-5到 5的11个相异的值(图18) 个 65432 个4 第一个骰子 第一个骰子 图 如此,至今为止所考虑的一切事件,都可用随机变数来表
示。例如前节例6掷两个骰子的试验中定义的两个事件 A=两个点数和在6以上 B=两个点数相等 A是图17中随机变数的值在6以上的情形,B则对应图18中 随机变数的值为0的情形。 其次,将前节的例8略加(数值上)简化,考虑5件零件 全放在一个箱子里的情形。于是每一个必定是成品(G)或是次 品(D中的某-种。现在说G有4个,D有1个,随机取两个 所得的样本空间,分为取出后放回与不放回两种情况,分别如 取出后放回的情形 样本空间的点D的个数 GG GD 取出后不放网的情形样本完间的点D的个数 GG 0 GD 1 现在,设随机变数是两次随机抽取的样本中次品的件数 时,它的值即为上表所列的数值 如此,变数对应样本空间上元素取值,且它取每个值的概 率是多少也都知道时,称这个变数为随机变数 132概率函数与累积分布函数随机变数是定义在样 本空间上的,这个随机变数取值x的概率p(x)也能够绐出来。 对前一段两个例子来说,计算概率的值如下 例1(a)两个骰子点数和的情形
9101112 (x) 12345654321 63636363636 b第一个骰子点数与第二个骰子点数之差 6 3 1012345 P(r) 12 4 5654321 3636363636363636363636 (c)次品件数(取出后放回 0 (x) 2 (d)次品件数(取出后不放回) 随机变数用象X那样的大楷字母表示,它取的值用X那样 的小楷字母(或如x:那样带下标的小楷字母)表示。「随机 变数X取某个值x的概率]记成 Pr(X=x)=P(x) 1) (1)式右边是x的函数,叫概率函数 经常用图象来表示p(x)对x的关系。例1的(a)图象 为图19。 许多情形是求X取值在x以下的概率,即求
P《x) 6/36 4/3G 36 图1·9 Pr(X≤ 这是x以下的点对应的概率函数值的和,即 Pr(X≤x)=p( (2) 右边是x的函数,称为累积分布函数,用F(x)表示,即 F(x)=Pr(X≤x (3) 例1(a)中确定的随机变数的累积分布函数如图110 所示 2/36 23/36 24/3G 20/836 1/36 12/36 8/3 4/38 7 10 11 15x 图 例2 <2234567891011≥12 F(x) 01351015226303335 363636363636363636361 1)本书“x以下”实际指“G成x以下” 译者
关于F(x)有几点必须注意。例如对3≤x<4的任一个 ,由(2)可知 F(x)=p(2)+p(3)=3/36 (4) 但x=4时,则 F(4)=P(2)+p(3)+p(4)=6/36 (5) 从而对e>0 limF(4-)卡F(4) (6) F(x)在4处不连续。 这是当随机变数X仅取有限个(或可数无穷多个)值的情 况发生的,X取值x的集是有限的之外,当 {x{x为自然数} 时,称X是高散的(参阅基础篇5·1节与5·4节) 对离散随机变数,概率函数的值对应X取有限个或者取与 自然数对应的一系列非零正值,但累积分布函数对这些值以外 的值却取正值。这有必要由下边的例来理解 例了用某个机器加工零件,开始出现次品就立即停止加 工。研究一下在第几次停工的概率是怎样分布的 设加工的次品率为,各次加工出现什么样结果是教立 的.用X表示到停止加工为止的加工件数。X的概率函数与累 积分布函数如下 P(*)=Pr(X=x) 1,2 ∑(-X(合) 1=I 例4在前边例3的条件下,一连加工10个零件,然后逐 个检查。求其中有x个次品的概率 【解】用X表示10个中包含的次品的个数,则 25