第二章函数插值 ☆问题提出 1函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多 点处的函数值 2仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路:建立复杂函数或者未知函数的 个便于计算的近似表达式 2004-9-9
2004-9-9 1 第二章 函数插值 问题提出 1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多 点处的函数值 2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 …… 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的 一个便于计算的近似表达式
内容提要 ■插值问题 ■插值多项式的构造方法 ■分段插值法 2004-99 2
2004-9-9 2 内容提要 插值问题 插值多项式的构造方法 分段插值法
插值问题 1.定义 已知定义于[a,b上的函数f(x)在n+1个互异节点 x∈[ab处的函数值{(x) 若函数族Φ中的函数o(x)满足条件 0(x,)=f(x),i=01,…,n 则称(x)为f(x)在中关于节点{x的一个插值函数。 ∫(x)一一被插值函数;[a,b一一插值区间; x}——插值节点;式(1)——插值条件 2004-99
2004-9-9 3 一、插值问题 1. 定义 已知定义于 [a, b] 上的函数 f (x) 在 n +1 个互异节点 { } [ , ] 0 x a b n i i= ⊂ 处的函数值{ }n i i f x 0 ( ) = . 若函数族Φ中的函数ϕ(x) 满足条件 x f x i n i i ϕ( ) = ( ), = 0,1,L, （1） 则称ϕ(x) 为 f (x) 在Φ中关于节点{ }n i i x =0的一个插值函数。 f (x) ——被插值函数； [a, b]——插值区间； { }n i i x =0——插值节点； 式（1）——插值条件
2.几何意义、内插法、外插法 M= maxXijiso 内插 外插 m=min(xi) x∈[m,M] x∈[a,b]btx还[m,M门 2004-99
2004-9-9 4 2 . 几何意义、内插法、外插法 n M xi i 0 max{ } ~ = = 内插 外插 n m xi i 0 min{ } ~ = = ] ~ , ~ ] x∈[a, b] but x∉[m M ~ , ~ x∈[m M
3.多项式插值问题 ■对于不同的函数族Φ的选择,得到不同的插值 问题 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时:有理插值; 当Φ为一些多项式集合时:多项式插值 特别的取中= P=span(x,x2…,x”,即 n={(x)0(x)=a+a1x+a2x2+…+anx",a1∈R,0≤t≤n 2004-99
2004-9-9 5 3. 多项式插值问题 对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值 特别的取 Φ = { }n n span 1, x, x , , x 2 L ∆ P = , 即 { } x x a a x a x a x ai R i n n n = ϕ( ) ϕ( ) = + + + + n , ∈ , 0 ≤ ≤ 2 P 0 1 2 L