《高等数学简明公式》教学资源：第一章 初等数学

木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 等数学简明公式 第一章初等数学 初等代数 乘法公式与因式分解 (a±b)2=a2±2ab+b2 2.(a+b+c=a2++b2+c2+2ab+2ac+2bc b2=a-ba+b) (a±b)=a3±3a2b+3ab2±b3 a3土b2=(a±b)a 干ab+b a-b"=(a-ba 2.比例ac b d a+b c+d (1)合比定理 (2)分比定理~bc-d (3)合分比定理 b a+b c+d b (4)若QCe √则9=S c e a+c+e 于是 f b+d+f (5)若y与x成正比,则y=kx(k为比例系数)(6)若y与x成反比,则y k为比 例系数) 3.不等式 (1)设a>b>0,n>0,则a">b (2)设a>b>0.n为正整数,则3a>b (3)设一< (4)非负数的算术平均值不小于其几何平均值,即 a+b a+b+c ≥abc a+ 23n≥ag4…an (5)绝对值不等式 1)|a+b≤d+|b2)-b≤l+b3)a-b≥l-b4)-l≤a≤a 4.二次方程ax2+bx+c=0 b+b--4ac b-√b2-4ac (2)韦达定理:x1+x2=--,x1x2 (3)判别式 0,方程有了两不等实数 b2-4ad=0方程有两相等实根 0,方程没有实根 5.一元三次方程组的韦达定理

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 高等数学简明公式 第一章 初等数学 一、初等代数 1． 乘法公式与因式分解 1.( ) 2. 2 2 2 2 +±=± bababa ( ) 222 bcacabcbacba 2 222 ++++++=++ 3. ( )( +−=− bababa ) 22 4. ( ) 3 23 32 33 ±+±=± babbaaba 5. ( )( ) 33 2 2 ±=± m + babababa 6. ( )( ) −− 21 − 23 −− 12 +++++−=− nn nn n nn babaababa LL bab 2．比例 d c b a = （1）合比定理 d dc b ba + = + （2）分比定理 d dc b ba − = − （3）合分比定理 dc dc ba ba − + = − + （4）若 f e d c b a == ，则令 t f e d c b a === 于是 fdb eca f e d c b a ++ + + === （5）若 y 与 x 成正比，则 = kxy （ k 为比例系数） （6）若 y 与 x 成反比，则 x k y = （ 为比 例系数） k 3．不等式 （1）设 nba >>> 0,0 ，则 （2）设 为正整数，则 nn > ba >> ,0 nba nn > ba （3）设 d c b a < ，则 d c db ca b a < + + < （4）非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即 , 2 ab ba ≥ + 3 3 abc cba ≥ ++ ， n n n aaaa n aaaa L L 321 321 ≥ + + + （5）绝对值不等式 1） +≤+ baba 2） +≤− baba 3） −≥− baba 4） ≤≤− aaa 4．二次方程 0 2 cbxax =++ （1）根： a acbb x 2 4 2 1 −+− = a acbb x 2 4 2 2 −−− = （2）韦达定理： a c xx a b xx 21 , 21 =−=+ （3）判别式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < = > −=Δ 方程没有实根 方程有两相等实根 方程有了两不等实数根 ,0 ,0 ,0 4 2 acb 5．一元三次方程组的韦达定理： 1

木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 若x+px2+qx+r=0的三个根分别为x、x2、x3则 x1+x2+x3=-P,x1·x2+x2x3+x3x1=q,x1·x2·x3= (1)a·a=a (2)am÷a"=am =a (4)(ab)=a"b" (5)2 (6)am= 7.对数 log m,(a>0,a≠1,N>0) (1)对数恒等式N 更常用N (2) log (MN)=log, M+logN 3)g(N)=10g (4)log(M")=nlog.M (5)log.VMI (6)换底公式logM log, M (7)log1=0 1)等差数列 设a1-首项 通项 d一公差 S前n项和 (n-1)d 2)s-a+ann=na 2 3)设ab,c成等差数列,则等差数列中项b=(a+c) (2)等比数列 设a1-首项q-公比 a.一通项,则 1)通项an=a1q 2)前n项和Sn -,q q (3)常用的几种数列的和 1)1+2+3+…+n= 12+22+32 n(n+1)2n+1) 13+23+3 n(n+1) 2

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 若 0 的三个根分别为 则 23 rqxpxx =+++ 321 、、 xxx −=++ pxxx 321 ， +⋅ ⋅ + ⋅ = qxxxxxx 133221 ， ⋅ ⋅ = −rxxx 321 6．指数 （1） （2） （3） nmnm aaa + =⋅ nmnm aaa − =÷ ( ) mn m n = aa （4） ( ) （5） m mm = baab m m m b a b a ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （6） m m a a 1 = − 7．对数 a ( ) NaaN >≠> 0,1,0,log （1）对数恒等式 ，更常用 （2） a N aN log = N eN ln = loga (MN) = loga + loga NM （3） NM N M a a a log ⎟ log −= log ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （4） ( ) a MnM n a log = log （5） M n M a n a log 1 log = （6）换底公式 a M M b b a log log log = （7） a = 01log （8） a a = 1log 8．数列 （1）等差数列 设 a1 －首项 an －通项 d －公差 Sn －前 项和 n 1） n 1 ( ) −+= 1 dnaa 2） ( ) d nn nan aa S n n 2 1 2 1 − += + = 3）设 成等差数列，则等差数列中项 ,, cba ( ) += cab 2 1 （2）等比数列 设 a1 －首项 q －公比 an －通项，则 1）通项 2）前 项和 1 1 − = n n qaa n ( ) q qaa q qa S n n n − − = − − = 1 1 1 1 1 （3）常用的几种数列的和 1 ） ( 1 2 1 321 L nnn +=++++ ) 2 ） ( )( 121 6 1 321 222 2 L nnnn ++=++++ ) 3 ） ( ) 2 333 3 1 2 1 321 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ L nnn +=++++ 4 ） 2

水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 1·2+2·3+34+…+n(n+1)=n(n+1)n+2) 5)1.2.3+234+4+1+1m+2)=1nm+1(m+2)(n+3) 9.排列、组合与二项式定理 (1)排列 Pn=h(n-1)n-2)[n-(m-1 (2)全排列 n(n-1(n-2)…321=n 1)…(n-m+1) 组合的性质: 1)CM=C 2)C=C,+C (4)二项式定理 (a+b) k 1.图形面积 (1)任意三角形S=m=5hsC=√(-0-8-)其中,=5+b+) (2)平行四边形S=bh= absin (3)梯形S=中位线×高 (4)扇形S=r1=-r2 2.旋转体 (1)圆柱 设R一底圆半径,H一柱高,则 1)侧面积S=2aRH,2)全面积S全=2mR(H+R)3)体积V=R2H(2)圆锥 (l=√R2+H2母线)

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ( ) ( )( 21 3 1 433221 L 1 nnnnn ++=+++⋅+⋅+⋅ ) 5） ( )( ) ( )( )( 321 4 1 43232 K 21 nnnnnnn +++=++++⋅⋅+⋅⋅ ) ) 1 9．排列、组合与二项式定理 （1）排列 P ( )( ) ( 21 [ ] mnnnn −−−−= 1 m n L （ 2 ）全排列 ( )(nnn ) n!12321Pn n L =⋅⋅−−= （ 3 ）组合 ( )( ) ( )!! ! ! 1 1 C mnm n m m mnnn n − = − − + = L 组合的性质： 1） 2） C mn n m n − = CC 1 1 CC 1 − − += − m n m n m n （4）二项式定理 ( )n nn ( ) n ( ) [ ( )] kkn n bba k knnn ba nn bnaaba ++ − − − ++ − ++=+ − − − L L L ! 1 1 !2 1 1 22 二、平面几何 1．图形面积 3 h a b ϕ o r l θ R H l （1）任意三角形 == sin ( )( )( −−−= csbsassCabbhS ) 2 1 2 1 其中 s ( ) ++= cba 2 1 （2）平行四边形 == abbhS sinϕ （3）梯形 S=中位线×高 （4）扇形 θ 2 2 1 2 1 == rrlS 2．旋转体 （1）圆柱 设 R －底圆半径， H －柱高，则 1）侧面积 侧＝ πRHS ,2 2）全面积 全＝2π ( + RHRS ) 3）体积V （2）圆锥 （ HR 2 ＝π 22 l += HR 母线） b A C B h c a b A C B h c a

木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 1)侧面积S侧=zR 2)侧面积S=zR(+R) 3)体积T=zBR2H (3)球 设R一半径,d一直径,则 1)全 积 S.=4R2 2)体积V=-mR (4)球缺(球被一个平面所截面得到的部分) 1)面积S=2zRH(不包括底面) 2)体积V=m2R 3.棱柱及棱锥:设S一底面半径,H一高 (1)棱柱体积=SH (2)棱锥体积=-SH (3)正棱锥侧面积A、1 底面积×母线长 三、平面三角 1.三角函数间的关系 (1) in a seca=l(2)cos a csca=l(3) tan a cot a=l (4)sin a+cos a=1 (5)1+tan-a=sec a(6)1+cot- a= csc-a(7) tan a= CoSa cos a (8) cot a= sin a 2.倍角三角函数 (1) sin 2a=2sin acos a (2)cosa=cos a-sin a=1-2sin a=2cos a-1 (3)tan 2a 2 tan a cot a (4)cot 2a= (5)sin2 a=l- cos 2a 1+cos 2a (6)cos- a 2 cot a 2 角函数的合差化积公式 (1) sina+sin B=2sin a+po a-B (2)sina-sin B=2cos a+B a-p (3)cos a+cosp=2 cos a+Cost B (4)c0sa-c0B=-23 (5)sin a cos B=sin(a+B)+sin(a-B) (6)cos a cos B=l[cos(a+B)+cos(a-B)I

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 1）侧面积 侧＝πRlS 2）侧面积 全＝π ( + RlRS ) 3)体积 HRV 2 3 1 = π （3）球 4 设 R －半径， d －直径，则 1） 全面积 2）体积 2 全 = 4πRS 3 3 4 V R h r R = π （4）球缺（球被一个平面所截面得到的部分） 1）面积 = 2πRHS （不包括底面） 2）体积 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 3 2 h π RhV 3．棱柱及棱锥：设 －底面半径， S H －高 （1） 棱柱体积V = SH （2） 棱锥体积V SH （3）正棱锥侧面积 3 1 = 2 1 A = × 底面积×母线长 三、平面三角 1． 三角函数间的关系 （1）sinα α = 1sec （2） α α = 1csccos （3） tanα α = 1cot （4）sin 1cos 2 2 αα =+ （5）1 =+ αα （6）1 =+ （7） 2 2 sectan αα2 2 csccot α α α cos sin tan = （8） α α α sin cos cot = 2．倍角三角函数 （1）sin α = α cossin22 α （2）cos 2 2 2 2 ααααα −=−=−= 1cos2sin21sincos2 （3） α α α 2 tan1 tan2 2tan − = （4） α α α cot2 cot1 2cot 2 − = （5） 2 2cos1 sin − α = （6） 2 2cos1 cos 2 α α + = 2 α 3．三角函数的合差化积公式 （1） 2 cos 2 sin sin2sin α β α β βα −+ =+ （2） 2 sin 2 sin cos2sin α β α β βα + − =− （3） 2 cos 2 cos cos2cos α β α β βα −+ =+ （4） 2 sin 2 cos sin2cos α β α β βα + − −=− （5） [ ] sin( )( sin −++= βαβαβα 2 1 sin cos ) （6） [ ] cos( )( cos −++= βαβαβα 2 1 cos cos )

木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (7) cos a sinβ in(a+B)-sin(a-B) (8) sIngsOn 边角关系 (1)正弦定理 R为外接圆半径 (2)余弦定理 C cos b2=c2+a2-2cacos B C-=a+b--2ab cos C 反三角函数 恒等式 (1) arcsin xt arcsin y=arcs sin(l-y+wl-r) arccosxtarccoy =arccos(y+(-xXI-y2)) (3)arctan xt arctan y= arctan x±y 1+x (4) arcsin x+ arccos= (5 arctan+arc cotx=

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （7） [ ] sin( )( sin −−+= βαβαβα 2 1 sincos ) （8） βα [ ] cos( )( cos −−+−= βαβα 2 1 sinsin ) 4．边角关系 （1）正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin === ， R 为外接圆半径 （2）余弦定理 cos2 Abccba 222 −+= ， cos2 Bcaacb ， 222 −+= cos2 Cabbac 222 −+= 5．反三角函数 恒等式 （1） ( ) 2 2 arcsin arcsin =± 1arcsin 1−±− xyyxyx （2） ( ( )( )) 2 2 arccos arccoyx =± arccos m 11 −− yxxy （3） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± =± xy yx yx 1m arctan arctan arctan （4） 2 arcsin arccos π xx =+ （5） 2 arctan cot π xarcx =+ 5