对三个事件A1,A2,43有 Pr(AA2A3)=P,(A1)+P,、A2)+P,(A) P(A1∩A2)-P(A1∩A) P(A2A3)+P,(A1∩A2(A)(10) 推广到r个事件时,得到 P(A1A2U…A) P,(A, ∑ P(A:∩A) +∑P,(A:A∩A P(A;A;∩A∩A1)÷…(11) >』>∫> (11)式的内容实际就是 A2…UA=1-Pr(A∩A…∩A。)(12) A1,A2,…,A独立时,得到 Pr(A1∪A2UA3…uA=1 II [1-P(A1)] (13) 例11综合以上所有关于概率计算的法则来考虑以下的例 子 图14是某套设备的运行系统,P(A)表示环节A正常工 作的概率,其它P(B)等仿此。从环节B到F都给出同一种对 应概率。此时求这套设备整个能正常运行的概率P,(S), Pr《A)=09 Pr(D)=0.9 Pr(c)=095 Py(E)=0.9 Pr(B)=048 Pr(F)=0,5 第一阶段 第二阶段 第三阶段 6
【解】如图设各阶段正常运行的概率分别为P(I P,(Ⅰ)及P,()。设各阶段正常与否是独立的,则得 P,(S)=P,(I)·P(I)·P(I) 再设各阶段各个环节也是独立的 阶段I,I中,构成它们的任一环节正常工作时,这个 阶段就正常运行。由(6)得到 P(i)=Pr(AU B)=Pr(A)+P(B)-P, (AnB 0.9+0.8-0,9×0,8=0.980 其次对P(I)则由(13)可得 P(I)=1-[1-P,(D)][1-P(E)][1-P(F) 1-(1-0.9)(1-0.9)(1-0,5)=0.995 从而 P(S)=0.98×0.95×0.995=0.926 问题8例11中各阶段的概率如下给定时,求P(S)。 P(A4)=0.80,P(B)=0.80,Pr(C)=0.85 P(D)=075,P,(E)=0.90,P(F)=0.75 1·2·4全概率定理考虑样本空间S可分成四个不相容 事件A,A2,A3,A4的情形,对所着眼的事件B有 A∩By 此时有 P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B) P,(AnB (14) 这叫作全概率定理。 小x 例12四个工厂生产同样的 产品。这种产品由第个工厂生 产的事件记为A2(=1,2,3, ).一件产品是合格品的事件 设为B.任取一件成品属于A1, 图 1·5
A2,A,A的概率分别为0.2,0,1,0.5,0,2。各工厂的合格 率分别为0.90,0.85,070。0.95 求任取一件成品是合格品的概率 【解】从(14)可得 Pr(B)=Pr(A1∩B)+P(A2B)+P(A3∩B) +Pr(A4∩B)=P,(A)·P,(BA1) P, (A2).P(B!A2)+Pr(A).P,(B]A3) P(42·P(B1A =0、2×0.90+0.1×0,85+0,5×070 0,2×0.95=0805 一般有厚个不相容事件A1,At,…,An,对所考虑的 事件B来说,知道A1,A2,…,A,发生条件下B发生的条 件概率时,B的概率为 ∑P,(A)P,(BA (15) (15)式成立的证明如下 证明参照图15可知,对事件B有 B=(B∩A)∪(B∩A2U…(B∩An (16) 但由设可知 B∩A1)∩<BA)=9i (17) 由概率加法定理得到 P(B)=P(B∩A1)+P,(B∩A2+…+P(B∩A =Pr(A1)P(B1A)+P(12)P(B1A2) +…+P(An·Pr(B}An) 证完) 问题9有甲乙两个罐,甲装红球(R)4个,白球 叩〉2个;乙罐装R1个,W3个。先任取一个罐,再从 中依次取两个球,求R,W各取一个的概率(参考1·1·4的例
问题10将上题两鲽的球装在一个罐中时,从中任取两 个,求R,W各取一个的概率, 1·2·5巴叶斯定理巴叶斯( Bayes)定理可由(15)式 及条件概率直接推出 实际,对氵=1,2 来说 P(4:∩B)=Pr(B)·P(A:|B) 所以得到 P,(A1!B) P,(A2∩B Pr(B) P(A)·P(B|A (18) ∑P(4)P,(B1A 18)式的意义在于表达以下的情况 已知某事件B发生的概率依赖于A;来确定又知道每 个A发生的概率。当B实际已发生时,这一信息能影响A 的概率到什么程度,即求B已发生的条件下A;发生的概率。 (18)式给出这个问题的答案 例13例12中,已知任意取出的一件产品是合格品,试考 虑此产品是哪家工厂制造的(实际是求此产品来自每家工厂的 概率各多少一—译者) 【解】由(18)式得 P,(A, B F(A1)·P(B|A1)0.180 Pr(B) 0.224 P(A1m、PA2)Pr(B/A2)0.0s5=0106 P,(B) 1)这句话指已知,发生条作下,发生概率。—一译者
P(A小≈P(A13P,(B|A3)0350=0.435 0.805 P(A, I B) P,(A)·Pr(BA)_0.190 Pr(B) 0.236 0.805 在此最先给A1,A3A3,A,的慨率是0.2,0.1,0,5,0.2 问题11为检查工程的失 误,设AB两个检查环节 每个环节都将检查出的失误信 t75 息送到修正环节U,V。由A 检查出工程失误的40%,由B 检查出失误的609%,由A查出如0口 失误的75%送到U,25%送到 图1·6 v.B则以10%与90%的比例送到U与, 现在U收到了失误信息,这个信息来自A的概率是多少? 习题]2 1·20件零件中含有6件次品,从这20件零件中随怠取5件时,求其 中有k件次品的概率 提示:从20个物体中随意取5个的组合数是,这里5-k个 是从14件优质品取出;k个是从6件次品中取出组合的。但0≤k≤5) 2.某机床生产的次品率为力用此机床试制10件产品,求10件试制 品中有x件次品的概率.每次产品是优质品还是次品的事件是独立的 3对某种零件作精密加工,有一道必经的工序,这道工序完成得 好时,次品率为0.15,完成得不好时,次品率为065.这道工序完成好 的概率据已往经验为0,70.这道工序完成后,试制一件产品是次品.这 道工序完成得不好的概率是多少?再试郜一件又是次品、此时,上述工 序完成得不好的概率又是多少? 开始试制两件都是次品时结果如何?