用(3)的观点来定义,t次试验中A不发生有y-次 所以与(2)相同,可以说 Pr(As) 1-P,(A)(4 问题1前节习题1~7所述的样本空间中,由等可能元 素构成的是哪一个? 问题2从〃,”,,x”,z六个字母中,任取相异三个 组合起来,共有C 6×5×4 3×2×1 20种。从这20种中任取一种 求以下事件发生的概率, (1)或是a或是v至少包含一个 (2)x与y二者全在内 (3)包含z与旷或者包含x与y (4)鯽与x全不在内 问题3一次掷两个骰子,求以下与点数有关事件的概率。 (1)点数的和不是11 (2)每一个点数都在3以上 (3)点数之差在2以下 (4)某一个点数在4以下(两个都在4以下也可以 12·2加法定理与乘法定理 a)加法定理二事件A、B不能同时发生时,或是A 或是B(事件AB)发生的概率等于事件A、B各自发生的 概率之和。即 P(Av B)=P, (-A)+P,( B) (5) 例4掷一个骰子,出现偶数点的事件为A,出现3点或 5点的事件为B,则AB是出现2点以上点数的事件,它 们的概率分别是P,(A)=,P<B)⊥.(AUB)=6 (5) A,、.合的1.1
式成立 例5掷“随机数骰子”,事件A表示出现0,1,3 点,事件B表示出现2,4,5点,事件AB是出现5点 以下点数的事件,P,(A)=3,P,(B)=3,P,(AB=6 10 10 5)式成立 二事件A,B能同时发生时,加法定理呈如下的形式 P,(AUB)=Pr(A)+Pr(B)-P(AnB (6) 例6在掷两个骰于的试验中,样本空间如图13所示由 36个点构成。今设事件 A=二点数和在6以上 B=二点数相等 此时立即可看出 5 P,(A∪B)= 287 实际上, P,()=26 36 图1·3 P,(A∩B= 36 因此证实了〔6)式成立 例7说明掷两次硬币这一试验的样本空间满足加法定理 解】记正面为H,背面为T时 S=tHH, HT, TH, TTy 这些事件是等可能的。令 4=第一次出现H,B=第二次出现H 12
则 A∪B=第一次出现H,或第二次出现H, 或两次都出现H A∩B=两次都出现H 概率分别是 P,(A1 Pr (B) P(A∪B)s3P,(A∩B) 所以满足(6) b)乘法定理前段例7中,第一次出现H还是T,影响 不到第二次出现H还是。象这样的两个事件,其中一个发生与 否不影响另一个事件发生的概率时,称这两个事件是独立的。 考虑抽样检验作为简单的例子。 现有100个零件装在一个箱子里。从中取一个检测某个性 能指标确定合格或不合格。此时采取使10个零件中任一个被 取出的概率都是的抽取方法,这样的抽取方法叫随机抽 样( random sampling),先随机抽一个,确定它是否合格, 将此零件放回箱内再随机抽一个。 如此,第二次抽出的零件是否合格与第一个零件是否合格 毫无关系。总之,如将第一次抽出的零件放回,则第一个零件 合格的事件A与第二次抽出的零件合格的事件B是独立的 二事件A、B独立时,二者同时发生的事件A∩B的概率 为 Pr(AB)=P(A)·P(B (7) 这叫作概率乘法定理 例8 A=第一个零件是合格品 B=第二个零件是合格品 13 训,试
设共有100个零件,其中有90件合格品,随机抽一个检验后又 放回,再随机抽第二个。求两次全合格的事件A∩B发生的概 率" 【解】,B独立,历以由(7)得知 p(4B)=P,(A)P(B=90908100=081 10010010000 上例中第一次抽样取出一个零件不再放回时情况如何?事 件A、B的含义同例8。这时必须考虑A发生的条件下B的 概率与A未发生的条件下B的概率,前者记为P(B4),后者 记为P(B|A)。 这样一来,得到 P(B4-89 99P,(BA90 99 这叫作条件概率 由条件概率概念,对不独立的二事件A与B来说,可如下 将乘法定理一般化。 一般,二事件A、B同时发生的概率等于A发生的概率与 A发生条件下B发生的概率的乘积.即 P(A∩B)=Pr(A)·P(B!4) (8) 因A∩B写成B∩A也是一样的,所以(8)也可写成 P(AB)=P(B∩A)=Pr(B)·P(A|B)(8 例9求例8中第一个零件不放回去时的概率。 解】关于A、B有 P,(A)=90,P,(BA)=89 100 99 所以 P(A∩B)=P(A)·P(BA)=、908≠0.809 10099 1)这里对原著略有更动,一译着 14
例0看某种报纸广告的人数占这种报纸该者的15%,有 30%看了广告后去看商品。此时设 A=看广告 B=去看商品 时,求看广告且去看商品的事件A⌒B的概率 【解】P,(AAB)=P(4)·P(BA)=9.15×0.30 0.045 问题4掷红蓝两个骰子,已知某个骰子出现6点时,两 个骰子点数和比10大的概率是多少?其次,已知红的出现6点 时,这个概率是多少? 问题5将扑克牌洗匀,背面向上抽出5张时,求(1) 5张全是無桃,(2)3张红心2张黑桃,(3)1 3、4、5各一张(什么花色都行)这三个事件的概率 问题6·罐中装6个黑球4个白球。每次取一个球不再放 回去。令 Bn=第r次取出的球是黑的 Wn=第次取出的球是白的 时,求概率 (1)P(B》)(2)P(B2|B1)(3)Pr(B2|W) 问題7在40件零件中误混入8个次品,必须逐个鉴别 求正好鉴别完22件时,挑全了8件次品的概率。 (提示:令A=鉴别完21个已发现7件次品 B=第22件是次品 则 P(A∩B)=P(A)·Pr(BA) 1·23三个以上的事件对三个以上的事件有以下诸法 则成立 个事件A An独立时 P(A1\A2∩…∩An)=P(A1)·Pr(A2)…P(A)(9)