《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 定积分的应用_6-2 定积分在几何学上的应用

一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程 9 给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值1,2 1y1 0 00 (G1对应x=a》 (t对应x=b) 则曲边梯形面积 A=∫0'0d HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求由摆线x=a(t-sint),y=a(I-cost)(a>0) 的一拱与x轴所围平面图形的面积 解：A=a0-cos）-al-cos)d/ -a"(1-cost)2di 2πa =a2 si'udu(令a=) -16asin udu =16a2.3.1.z =3πa2 422 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: dA = a (1− cost) a (1− cost)d t a (1 cost) d t 2 0 2 2  = −  t t a d 2 4 sin 2 0 2 4  =  ) 2 ( t 8a sin u d u 令u = 0 2 4  =  16a sin u d u 2 0 2 4  =  2 = 3 a  = 2 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o 2 a

2.极坐标情形 设p(0)eC[a,B],p(0)≥0，求由曲线r=p(0)及 射线0=α，0=B围成的曲边扇形的面积 在区间a,B]上任取小区间[0,0+d0] 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 A-3O)d0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . r =( )  x  d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为      ( )d 2 1 2  A = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 

例5.计算阿基米德螺线r=a0(a>0)对应0从0变 到2π所围图形面积 2π4 3x32 点击图片任意处 播放开始或暂停 HIGH EDUCATION PRESS ©-◆OC①8 机动目录上页下页返回结束

例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 解: x 2 a o  d (  ) d 2 1 2 a  = 2 0 A 2 2 a =       3 3 1  0 2 3 2 3 4 =  a 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2 所围图形面积

例6.计算心形线r=a1+cos0)(a>0)所围图形的 面积 解A=2月2a21+2d0 (利用对称性) de 令1=g -8a2cos*rdr =8a2.3.1.3 4222 HIGH EDUCATION PRESS 心形线目录上页下页返回结束

8a cos t dt 2 0 2 4  =  例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: o 2a x  d (1 cos ) d 2 1 2 2 a +  =  0 2 a   d 2 4cos4 (利用对称性) 2  令t = =  2 8a  4 3  2 1 2  2 2 3 =  a 心形线 目录 上页 下页 返回 结束