(3)跃迁几率和跃迁速率 H ho2 ieak t M州QOm 4 H',2 sin(am,t) k-m"m 极限公式 sin( lim a→>0xa2 ax)=8(x) 则当t→∞时上式右第二个分式有如下极限值 1-900 10 2=8(Onk)=2rd Em, -EK sin(a lim “)=2mh(Em-Ek) 于是 2ith'mk[ 8(Em -Ek k→m九 跃迁速率 k-m 2r 0k→ml 分Hrn26(6m-6k)
（3）跃迁几率和跃迁速率 (1) 2 W | a (t)| k m m → = 2 2 / 2 1 2i e sin( t) H mk i t mk mk mk = − 2 2 2 2 2 1 4 | | sin ( ) mk mk mk H t = 极限公式： ( ) sin ( ) 2 2 lim x x x = → 则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值： ( ) sin ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 lim mk mk mk t t = → 于是： | | ( ) 2 2 k m Hmk m k t W → = − 跃迁速率： | | ( ) 2 2 mk m k k m k m H t W = = − → → 2 ( ) m k − = 2 ( ) m k = −
(4)讨论 1.上式表明,对于常微扰,在作用时间相当长的情况下,跃迁 速率将与时间无关,且仅在能量8m≈8k,即在物态能量的小 范国内才有软显著的跃迁几亭 在常微扰下。体系将跃迁到与初商能量相同的末恋。也就是说 末是与初不同的状态,但能量是相同的。 2.式中的6(8m-8)反映了跃迁过程的能量守恒。 3.黄金定则 设体系在8m附近dB吨图内的能恋数目是p(8m)dBm,则 跃迁到8附近一系列可能末态的跃迁速率为 =∫ dEm(Em)Ok→+m 2元 demp(em h/H 18(6mEn 2n Hmk I P(Em)
（4）讨论 1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁 速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小 范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。 2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。 3. 黄金定则 设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm) dεm，则 跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为： = d m ( m )k→m | | ( ) 2 ( ) 2 d m m Hmk m k = − | | ( ) 2 2 Hmk m =
(三)简谐微扰 t=0时加入一个简谐 (1) Hamilton量 振动的微小扰动: t<0 是与t无关 H(t)= Acos ot 0 只与r有关的算符 t<0 为便于讨论,将上自()=1e+e 式改写成如下形式 t>0 (2)求an①)(t) m=sm|(t)|>~q和9n之间的微挑矩阵天令 H(t)在H0的第k个和第m个 <8m l flelor +e-or1lpk> =<8m u>lelar +e-lar] = Fmk lel iat +e iot
（1）Hamilton 量 t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动： = cos 0 ˆ 0 0 ( ) ˆ A t t t H t 为便于讨论，将上 式改写成如下形式 + = − [ ] 0 ˆ 0 0 ( ) ˆ F e e t t H t it it F 是与 t无关 只与 r 有关的算符 （2）求 am (1)(t) H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征 态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元是： = mk m k H H (t)| ˆ | = + − k i t i t m F e e [ ]| ˆ | | [ ] ˆ | i t i t m k F e e − = + [ ] i t i t mk F e e − = + （三）简谐微扰
a()(t)=2m 加lsio+e at lelon t at mk S lelon + l +eiland -ol ldt i|omtO/×、e ie O+ot t i iO -ol 0 F HOnk +olt iOu -ot LOn +ol (2)几点分析 四)当ω=mk时,微扰频率U 与Bohr频率相等时,上式第二项 lim look -o]t 分子分母皆为零。求其极限得: it 0→>⑩mk lank -ol
e e e dt i F a t i t i t i t mk t m ( ) [ ] mk 0 ( 1 ) − = + e e dt i F i t i t t mk mk mk [ ] [ ] [ ] 0 + − = + t ii t ii t mk mk mk mk e mk e i F 0 [ ] [ ] [ ] [ ] = + −− ++ − + − = − − − + + [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 mk mk mk mk i t i t mk F e e （ 2 ）几点分析 (I) 当ω = ωmk 时，微扰频率 ω 与 Bohr 频率相等时，上式第二项 分子分母皆为零。求其极限得： it e mk mk mk i t = − − − → [ ] [ ] 1 lim
第二项起 mke ①(t)=-h 20nkt_1 主要作用 t 20m 第一项起 时,同理有 主要作用 i2ank 1)() Fmk it+20nk (II〕当≠±ωm时,两项都不隨时间增大 总之,仅当=±om=±(Bm-8)/或 8n=8k±ho时,出现明显跃迁。这就是说,仅当 外界微批含有频率0m时,体系才能从态跃迁到(m 忞,这时体系吸收或发射的能量是h0m。这说明我 卯讨论的跃迁是一种失振现家。 因此我们只卿讨论hO≈土hOm的情况即 可
+ − = − it F e a t mk mk i t mk m 2 2 (1) 1 ( ) 第二项起 主要作用 (II) 当ω = −ωmk 时，同理有： − = − + mk mk i t mk m e i t F a t 2 2 (1) 1 ( ) 第一项起 主要作用 (III) 当ω≠ ±ωmk 时，两项都不随时间增大 总之，仅当 ω =±ωmk = ±(εm –εk)/ 或 εm =εk ± ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅当 外界微扰含有频率ωmk时，体系才能从φk态跃迁到φm 态，这时体系吸收或发射的能量是 ωmk 。这说明我 们讨论的跃迁是一种共振现象。 因此我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即 可