(1)列出各势域的S一方程 势V(x)分为三个区域 用I、Ⅱ和I 表示 2u dr2 y(x)+v(xy(e)=Ey(x) 其上的波函数分别为 a2y(x)-2u(x)-Ew(x)=0 中(x),中(x)和 ψ(x)。则方程为 a 2v(x) y( ≤-a dxr2y(o)+e 2H Ew" pa o a<x<a y(x) (-EW"(x)=0 ≥a 方程可 y-B 0 v(x) 简化为 y+o 0 dr y- 0 a
（1）列出各势域的 S — 方程 方程可 简化为： − = + = − = 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 III III II II I I dx d dx d dx d [ ( ) ] ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 − − = − + = x V x E x dx d x V x x E x dx d -a 0 a V(x) I II III x V E x x a dx d x E x a x a dx d x V E x x a dx d III III II II I I − − = + = − − − = − ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函数分别为 ψI (x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为： 2 2
v(x) 1。单值,成立; dx2y-By=0 2。有限:当x→ y +ay =0 y有限条件要求 =0 By 0 a 0 十 压c B2=2(u-E) Asin(a+8) t Be-a y(a)=lim Cle- ba=0 所以 (3)使用波函数标准条件国:。vm=0 从物理考虑,粒子不能透过无穷高的势壁。 则解为: 根据波函数的统计解释,要求在阱壁上和阱壁 0. 外波函数为零,特别是 ψ(-a)=ψ(a)=0 y= Asin(ax+8)
= + = + = + − − III x x II I x x B e B e A x C e C e 1 2 1 2 sin( ) − = + = − = 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 III III II II I I dx d dx d dx d （3）使用波函数标准条件 I x C e = 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。 = = + = 0. sin( ), 0, III II I A x 则解为： ( ) 2 2 2 = V − E 0 ( ) lim 1 0 = − = = − → I I a a C e 所以 = 0 III 同理： -a 0 a V(x) I II III 1。单值，成立； 2。有限：当x → - ∞ ， ψ 有限条件要求 C2=0
0. 使用标准条件3。连续 y= Asin(aa+8), m 1)波函数连续: 0 V(x) y(-a)=y"(-a)→Asin(-m+6)=0, y(a)=y(a) Asin(aa +8)=0 -a 0 a 2)波函数导数连续: 在边界ⅹ=-a,势有无穷跳跃,波函数微商不连续。这是因为 若ψ(-a)3=ψ(-a)3,则有,0= A acos(-aa+b) 与上面波函数连续条件导出的结果Asin(-aa+6)=0盾,三 者不能同时成立。所以浪函数导数在有无穷跳跃处不连续
使用标准条件 3。连续： 2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为： 若ψI (-a)’ = ψII(-a)’ ， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二 者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。 (−a) = (−a) → Asin(−a + ) = 0, I II 1）波函数连续： = = + = 0. sin( ), 0, III II I A x (a) = (a) → Asin(a + ) = 0. II III -a 0 a V(x) I II III
Asin( aa+8)=0 Asin(aua)cos&+Acos(aa)sind=0 (1) Asin(aa+8)=0 Asin(a)coso+AcoS(a)sin=0 (2) sinδ=0 (1)+(2) cos(aa)sin=0(3) costa=0 (2)-(1) sin(a)cosS=0 (4) COsS=0 sIna= 两种情况: 由(4)式 .sinδ=0→6=0则cos6=1 sin aa =0 n元 =n元 (n=0,±1,±2,…) E n元 丌h 所以 E E 2 n元 A sina= Asin
sin( ) 0 sin( ) 0 + = − + = A a A a + = − + = sin( )cos cos( )sin 0 ( 2 ) sin( )cos cos( )sin 0 ( 1 ) A a A a A a A a (1)+(2) cos(a ) sin = 0 ( 3 ) (2) -(1) sin(a ) cos = 0 ( 4 ) = = cos 0 sin 0 a == sin 0 cos 0 a 两种情况： I. sin = 0 = 0 则 cos = 1 由（ 4）式 sin a = 0 = = ( n = 0, 1, 2, ) an a n 2 E 2 2 因 = n E a n an E = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 所 以 x an A x A II n = sin = sin
n元 E Asin (n=0,±1,±2,…) 讨论 状庵不存在 0 当n=0时:C=0 A sin ox= o 当n=±k时:4=Asik兀 k兀y X=士Asim 所以n只取正蓬数,即(n=1,2,… 措写同一状庵 于是 y=y=0 n元 =Asi 2 2;2 n 2n)2丌h 或=Asin E 2a 8
2 2 2 2 2 a n E n = x a n A II n = sin (n = 0,1,2, ) 讨论 = = = = = sin0 0 0 0 0 0 0 A x E n II 当 时 ： ， x a k x A a k n k A II k sin = sin 当 = 时 ： = 状态不存在 所以 n 只取正整数，即 (n = 1,2, ) 描写同一状态 于是： = = = = = sin 1,2, 0 x n a n A II n I III n x a n A 2 2 sin 或 = 2 2 2 2 8 (2 ) a n E n =