理论力学 何国兴 东华大学应用物理系
理论力学 何国兴 东华大学应用物理系
第一章牛顿动力学方程 §1经典力学基础《原理》 牛顿三大定律 §12牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F=dP/dt=d(mv)/dt 若m为常数,F=mdv/dt=ma 1、直角坐标系 F= mdv dt= ma F= mdv dt= ma F= mdv/dt= ma
第一章 牛顿动力学方程 §1.1 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz
例题:假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧 毁时,有一质量为m的碎片以水平方向的初速v 抛出,已知空气阻力与速度成正比,即f=-kv (k为常数),试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解:牛顿第二定律:mg+f=mg-kw= mdv/dt 建立坐标系:x轴—V方向; y轴—垂直向下方向 初始条件:t=0,x=0, 0, 0 0 0 XO 0 yO zO 0: 运动微分方程:-kv=mdv,/dt mg-kv,= mdv/dt 0=mdv/dt
例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧 毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系：x 轴 —— vo方向; y 轴 —— 垂直向下方向。 初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt
运动微分方程:-kv=mdv、/dt mg -kvv=mdv/dt 0= mdv/d Z x方向:dx/vx=-(k/m)dt V=ve kt/ y方向:-kdv√(mgkv)=1(k/m)dt V=(mg/k( l-e-kt/m z方向: dv.=0 0 Z z0 kt/m X v=(mg/k(1-ekt/m 0
运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy /(mg-kvy ) = -(k/ m)dt → vy = (mg/k)(1-e - kt/m ) z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0
Vvoe-kt/m, y=(mg /k)(l-e-ktm),V,=0 →x-x。=v,e-kmdt=(mvg)(1-ekm) y-yo=t(mg/k)(1-e-kt/m )dt = mg t/k-m2g/k2(1-e-kt/m) →z-zn=「t0dt=0 运动方程:x=(mvg)(1-ekm) y=mg t/k-mg/k(1-e-ktm) z=0 kt/m=-In( 1-kx/mvo) 轨迹方程:y=-gln(1-kx/mv)-mgx/kv z=0
vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 → x - xo = ∫o t vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫o t (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) → z - zo = ∫o t 0 dt = 0 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z = 0 → kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z = 0