第三章两体问题 §31两体问题化为单粒子问题 相对坐标r=r1-E2,内力F2=-F21,外力F,F2 F,+ r 12 r 上21 11 十 12 十 m 2 2 引入"折合质量': m (1)式重写成:μF=F12+叫 若F=F2=0或F1/m1=F2/m 12 或μr=F(r)n(若F2=F(r)en)
r F(r)e ( F F(r)e ) r F F F 0 F / m F / m m F m F (1) : r F m 1 m 1 1 " ": m F m F F m 1 m 1 m F F m F F r r - r r r - r , F F , F F . r 1 2 r 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = = = = = = = + − = + + − = + + − + = = = = − 或 若 若 或 式重写成 引 入 折合质量 相对坐标 内 力 外 力 ， 第三章 两体问题 §3.1 两体问题化为单粒子问题
假设外场势能U只与体系的质心位置有关, 相互作用势能只与两粒子间的相对r有关。 体系的拉格朗日函数为 L=T-Ⅴ=(m1+m2)rC+ 3r2-U(r)-U(r) =L1+L2 其中:L1=(m1+m2)2-U(rc) 2 山2-U(r) 这样,两体问题分解为两个单粒子问题
r U (r) 2 1 L (m m )r U (r ) 2 1 :L L L r U (r ) U (r) 2 1 (m m )r 2 1 L T V U r U r 2 i 2 C 2 e 1 1 2 C 1 2 i C 2 2 e 1 2 C i C e = − = + − = + = − = + + − − 其 中 ， 体系的拉格朗日函数为： 相互作用势能 只与两粒子间的相对位置 有关。 假设外场势能 只与体系的质心位置 有关， 这样，两体问题分解为两个单粒子问题
32有心力场中单粒子的运动 在有心力势场中,因觔量守恒,作平面运动 选取平面极坐标系(,θ) 拉格朗日函数:m(r2+r22)/2-U(r) 因拉格朗日函数不含时间t,因此粒子能量守恒: E=m(r2+r202)/2+U(r)=常数 因拉格朗日函数不含坐示0,因此粒子角动量守恒 L=mrv=mr20→0=L/mr2 mF2+r(/mrH H +U(r) 2 mr+ 2 2mr2 +U(r)
§3.2 有心力场中单粒子的运动 ( ) U(r) 2mr L mr 2 1 m r r L/ mr U(r) 2 1 E L mrv mr L/ mr E m(r r )/ 2 U(r) t m(r r )/ 2 U(r) r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = = = = + + = + − 因拉格朗日函数不含坐标 ，因此粒子角动量守恒： 常 数 因拉格朗日函数不含时间 ，因此粒子能量守恒： 拉格朗日函数： 选取平面极坐标系（， ） 在有心力势场中，因角动量守恒，作平面运动
运动方程 2 L2 mr +U(r) 2 2 dr 2 →r E-U( dt 2mr 2 m 2 dt=dr/ -e-u(r) 21 2 mr r(t) dr → →r=r(t) r(0) 2 E-U(r) m 2mr
运动方程 r r(t) 2mr L E U(r) m 2 dr t 2mr L E U(r) m 2 dt dr / 2mr L E U(r) m 2 dt dr r U(r) 2mr L mr 2 1 E r(t) r(0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = = − − = = − − = + +
2 2 dt=dr /E-U(r) m 2m 角动量守恒:L=mr6→6dL dt mr dr →de dt mr mr 2 2 E-U(r) 2mr 2 L/rdr e(t)-6(0)= r(0) 2mE-U(r 2mr 2 由r(t)和θ(t)消去t,则可得轨道方程c
由 和 消 去 则可得轨道方程。 角动量守恒： r(t) (t) t , 2mr L 2m E U(r) L/ r dr (t) (0) 2mr L E U(r) m 2 dr mr L dt mr L d mr L dt d L mr 2mr L E U(r) m 2 dt dr / r(t) r(0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − = − − = = = = = = − −