第二章拉格朗日运动方程 §2.1约束广义坐标 §2.2达郎贝尔原理 §2.3完整约束拉格朗日方程 §2.4非完整约束的拉格朗日方程 §2.5对称性和守恒定律
第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律
§2.1约束广义坐标 、约束与分类 1、约束:限制各质点自由运动的条件。 2、分类 (1)几何约束和运动约束(微分约束) 几何约束:f(r,r2,…,rn,t)=0 运动约束:f(,r2 ●● Boy n,71 ●●● yn,t)=0 (i=1,2,…,k) 式中k为约束个数,独立约束的个数<3n
§2. 1 约束 广义坐标 一、约束与分类 1、约束：限制各质点自由运动的条件。 2、分类 (1)几何约束和运动约束( 微分约束) 几何约束: fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) = 0 运动约束: fi ( r1 , r2 , …rn , v1 , v2 ,…vn ,t ) = 0 ( i =1, 2, … k ) 式中 k 为约束个数, 独立约束的个数≤3n
(2)稳定约束和非稳定约束 稳定约束:约束方程不显含t的约束 非稳定约束:约束方程显含t的约束 例:稳定的几何约束:f(r,r2,…,r2)=0 稳定的运动约束:f(r1,r, 9729··· )=0 (i=1,2,,k) (3)可解约束和不可解约束 不可解约束:约束方程为等式。 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式。 例:不可解几何约束:E(r,r )=0 可解几何约束:f(r,r2,…,rn,t)≥0或≤0
(2) 稳定约束和非稳定约束 稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束。 非稳定约束: 约束方程显含t 的约束。 例：稳定的几何约束：fi ( r1 , r2 , …rn ) = 0 稳定的运动约束: fi ( r1 , r2 , …rn , v1 , v2 , …vn ) = 0 ( i =1, 2, … k ) (3) 可解约束和不可解约束 不可解约束：约束方程为等式。 可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。 例：不可解几何约束： fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) = 0 可解几何约束： fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) ≥ 0 或 ≤ 0
(4)完整约束和非完整约束 非完整约束:有两种情况 (a)可解约束; (b)微分约束中若约束方程不能单独积分 (必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分) 完整约束:除上述两种情况外的约束 今后主要研究受完整约束的力学体系,即研 究完整系的力学问题
(4)完整约束和非完整约束 非完整约束: 有两种情况 (a) 可解约束; (b) 微分约束中若约束方程不能单独积分 ( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分 ). 完整约束: 除上述两种情况外的约束. 今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研 究完整系的力学问题
例1:一球面摆,O点固定;OM0 为轻刚性杆,杆长为;M点系 质点,其质量为m。 设O点为直角坐标原点,则 质点M的约束方程为:x2+y2+ z2-P=0它是稳定、不可解、几何、 完整约束。 若O点不固定,在x方向有一恒定速率c, t=0时O点处于坐标原点,则约束方程为: (x-ct)2+y2+z2-2=0 它是非稳定、不可解、几何、完整约束
例1：一球面摆，O 点固定；OM 为轻刚性杆，杆长为l ；M 点系 一质点，其质量为m 。 设O 点为直角坐标原点，则 质点 M 的约束方程为： x 2 + y2 + z 2 -l 2 = 0它是稳定、不可解、几何、 完整约束。 若O 点不固定，在 x 方向有一恒定速率 c， t = 0 时O 点处于坐标原点，则约束方程为: (x – ct)2 + y2 + z 2 -l 2 = 0 它是非稳定、不可解、几何、完整约束。 O M l