第五章非惯性参考系 §5.1不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标—惯性系 动坐标系—非惯性系 动坐标系:A=A、i+Aj+A2k 固定坐标:dAdt= dA_ /dt i+ dAy /dtj+dA/dtk 动坐标 +Adi/dt+Ay dj/dt +Aidk/dt 动相对固定
第五章 非惯性参考系 §5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标 —— 惯性系 动坐标系 —— 非惯性系 动坐标系： A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标： dA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k 动坐标 + Axdi/dt +Aydj/dt +Azdk /dt 动相对固定
动坐标系:A=A3i+Aj+A2k 固定坐标:dAdt= dA/dt i+dA/dtj+ dA/dt k +Adi/dt+Ay dj/dt +Aidk/dt 讨论(1)仅有转动(角速度o相对固定坐标系) dr/dt=0×r:。di/dt=0×i, dj/dt=0×j, dk/dt=0×k 记δA/dt=dA、dti+ dAy/dt j+dA/dtk dδ 则有:dA/dt=6A6t+o×A → dt st 转动参考系算符变换:d/dt=8/6t+0×
动坐标系：A= Ax i + Ay j + Az k 固定坐标：dA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k + Axdi/dt +Aydj/dt +Azdk /dt 讨论 (1) 仅有转动(角速度ω相对固定坐标系） ∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i , dj /dt = ω× j , dk /dt = ω× k . 记 δA/dt = dAx /dt i + dAy /dt j + dAz /dt k 则有: dA/dt = δA /δt +ω×A 转动参考系算符变换：d/dt = δ/δt +ω× dt t d ~
例:质点的位置矢量r,求v,a。 解:v=dr/dt=6r/6t+0×r=V相十V牵 a=d2r/dt=d(8r/8t +oXr)/dt =6(6r/6t+0×r)/6t +ω×(6r/6t+0×r) 62r/6t2+6(0×r)/6t +×(6r/6t)+0×(0×r =62r/6t2+(60/6t)×r+0×(×r) +20×(6r/16)=a相+a牵+a科 a相 82r/6t a牵=(/6t)×r+0×(xr) 科=20×(Gr/16)
例: 质点的位置矢量r ，求 v ， a 。 解： v = dr /dt = δr /δt +ω×r = v 相+ v 牵 a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω×r ) /dt = δ(δr/δt +ω×r) /δt +ω×(δr /δt +ω×r) =δ2r /δt2 +δ(ω×r) /δt +ω×(δr /δt) + ω×(ω×r ) =δ2r /δt2 +(δω/δt )×r + ω×(ω×r ) + 2ω×(δr /δt) = a 相 + a 牵 + a 科 a 相 = δ2r /δt2 a 牵 = (δω/δt )×r + ω×(ω×r ) a 科 = 2ω×(δr /δt)
dA/dt=6A/6t+o×A 运算公式:AXB×C=B(A·C)-(A·B)C 0×(o×r)=0(or)-2r =2(OB-OP)=-02R 对于角速度o,角加速度为β R 阝=do/dt=6o/6t+×o B P =6o/6t 说明角加速度与坐标系无关
dA /dt = δA /δt +ω×A 运算公式：A × B ×C = B (A · C ) – (A · B) C ω×(ω×r ) = ω(ω·r ) - ω2 r = ω2 (OB - OP) = -ω2 R 对于角速度ω，角加速度为β β = dω/dt = δω/δt +ω×ω = δω/δt 说明角加速度与坐标系无关。 R ω r B P O
例:一等腰直角三角形OAB在 y A 其自身平面内以匀角速o绕O转 动。P点以匀相对速度沿AB边 运动,当三角形转一周时,P点 P 走过AB,如AB=b,试求P点在 A时的绝对速度与绝对加速度。z B 解:rA=bi+bj,o=-0k, A相对 δt 2兀 j,aA相对=0 or b A 0×r j-k×(bi+bj) δt 2兀 =abi-ob 1+ 2兀
j 21 b i b 1 j k b i b j 2b r tr v j a 0 2b tr v r b i b j k A A A A A A A = − + − + + = − = = = − == + = − （ ） ， 。 解 ： ， ， 相 对 相 对 例： 一等腰直角三角形OAB 在 其自身平面内以匀角速 ω 绕 O 转 动。P 点以匀相对速度沿AB 边 运动，当三角形转一周时， P 点 走过AB，如AB=b，试求 P点在 A 时的绝对速度与绝对加速度。 PA B y z x O ω