l期 伍仕刚等:投资组合模型 r;/s]≤((i=1 n).上述模型可化为等价的多目标规划模型 H=mn+∑E-∑ 0.(x;=0), (0<;≤) ≥(.(i=1.2 偏好系数加权法 在实际投资中,投资者总是权衡资产风险和预期收益两个方面,选择一个令自已满意的资产组合 进行投资,这种满意的资产组合称为有效资产组合.因此分别对目标函数R和Q赋子权重1-A和 A,{0<λ<1),将(5)式化为单日标规划模型 mnr=Q-(1-)n+∑:-∑m0<A≤小 (0<r;<n;) ) 加杈系数λ称为投资偏好系数,代表了投资者对风险的厌恶程度,实际计算中,A的值由投资 者自已来决定 (6)式是一个带约束条件的非线性规划问题,一般可用罚函数法化为无约束非线性规划,再利用 多维空间的单纯形法,通过计算机编程进行求解.不过这种方法过于复杂且缺乏一定的稳定性,因此 有必要寻求一种较为简单的方 由于交易费用的分段性,造成日标规划(6)的非线性,如果考虑所投总资产数量相当大的情况, 认为对某种资产S只存在不投资和投资额大于u;两种情况,即不考虑u;对交易费用的影响,而 且后面有定理可以证明,当M!大于某一值时,投资额的确只有以上两种情况.如以投资权重v;为 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 变量,这时 化如下的为线性规划模型: mnz=AQ-(1-)wu∑n吗-∑nm,0<A≤ s.t.0+∑"2+∑u ≥0,2≥0,(=1,2,…,n) 对此线性规划模型进行求解,给定投资偏好值λ,利用数学软件 Maple v4.0进行求解,代码如 下(以问题的数据为例且取A=0.7 Csts:={l+2+t3+m4+u0+0.0url+0.022+0.045°u3+0.065u4=1 olj:=-03(u0.28+20.21+t3”·0.23+u40.25+uU”0.05 u.0trl-0.0)2x2-0045t3-00654)+0.7q;4 minimize(obj, cnts union ul>=0.w2>=0,te>=0,w4>=0, w0>=0 >=0,tl*0.025-q<=0,m20.015-Q<=0,n3"0.055 Q<=0,40.026-(<=0}) 输出结果为{ul=0.9000c0=0,t2=0,ur3=0.,4=0,Q=0.024753} 六、模型扩屐(略) 文显武,国际投资,武汉大学出版社,武汉,198 [2[美]J伊格尼齐著,李毅华译,单目标和多目标系统线性规范,同济大学出版社,上海,1986. ]管梅谷,线性规划,山东科学技术出版社,济南,193. 附录(略) o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第1期 数学的实践与认识 Vol. 29 No. I 1999年!月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan. 1999 风险投资分析 程文鑫苑青骆文润 指导教师:数模组 (海军工程学院,武汉43003 编者按本文概念濟析、分析透彻,正确地建立了问题的双目标规划模型,并转化为单目标线性规划冋 题用网络法算出正确的结果同时提出并论证了两个准则简化了模型的求解特别对假设M≥t 的合理性、银行利率变化对投资组合的影响等作了灵敏度分析 摘要本文主要研究多种资产的组合投资问题根据题目所给信息,建立了在一定简化条件下的多目 标规划模型和单日标风险约束模型,并对问题一与问题二分别使用上述两模型进行求解得到多种投资组 合方案,同时对一般情况进行了讨论,最后对模型进行了相应的灵敏度分析,讨论了简化条件的适用情 况,结果表明模型是较为符合实际的 问题的提出与分析(略 二、符号的说明 参數范围 够投资的资产种类 M|相当大投资总额 =12.n资产s,的纯购买额 P i=l 购买资产5,的交易费率 购买资产S,的交易费 购买资产S,的风险损失率 购买资产S,的平均收益率 1:交易费的门阀值 i=1,2,n购买资产S的金额在总资金中的比例 ∈(0.1 投资者对投资风险的厌恶程度 资产s,的净收益 购买资产5,所获得的收益 对于同期银行存款,其相应的符号分别表示为S3,Mo,r,:0等,其中(,P0,,U全为零 三、模型的建立 )有关概念的定义 1.平均收益率r1和净收益R 收益E 购买额M o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 F;=E;-(12,此时 E;R;+( 故总体净收益 =∑=∑(Mn1-(;) 2.风险损失率和总体风险a 风险损失资金 购买额 则在用资金M1购买资产S1时的风险为G1=Ma,根据假设4.购买若干种资产吋,其总体风险 {M: (二)模型的建立 1.模型A根据上述概念,我们可建立存在无风险投资时,资产组合投资决策函数为: H=∑R1=∑(Mr-() a= max Mig: I <i< 由于两个函数具有一般性,计算比较复杂.考虑到投资金额M相当大,即可以认为M/>l;,从而 可把交易费(‘简化为G;=MP 在资产中投资的总额可表示为 +G=M+l2=M;(1+P) 此时购买额可表示为 1 1+P 这样上述两决策函数(),(2)可转化为 1+ 从而可以建立双目标规划模型:模型A o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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程文鑫等:风险投资分析 0,1,2 >0, 2.模型B对于双目标规划模型A.其一般解法可采用网格搜索法.在投资种类较多时,模型 A求解比较复杂,为此需在模型A的基础上进行适当简化 现对总体风险赋予一个上界值d在不超过d的情况下,寻求使收益H达到最大的投资组合 (投资比例)、其数学模型为模型B ∑ 0..1,2 >0 模型的求解 (一)模型A的求解 由于模型A为双目标函数规划模型,因此我们采用双目标规划的一般方法进行求解,设(1-/) 和p分别表示投资者赋予期望收益和总体风险的权重数,令k=(1-)(-R)+μ、此时将双目标 规划模型A转化为如下单日标规划模型 1+P+ ∈(0. 一般情况下u≠0.越大表示投资者对总体风险越厌恶,当P=1时表示投资者对资产投资风险 极端厌恶 对上述模型用网格搜素法求解(程序见附录I(略).可得绐定μ下的最佳投资组合. 在问题1中投资种类n=4,对于不同的易得到资金的投资比例:=(:,:1,÷,-3,)及 相应的净收益H和风险δ.即可得到对于不同的投资组合如下:记:=(=m.:.÷2.,=4) 0<p<0.76时 (i71a=00247./(0.00.2.0.00.0.0.00) =0.78时=0:217a=0.00911(0.00,0.38,0.62.0.0,0.00) p=0.N0时R=0.216.Ma=0.01.M(0.00.0.37,0.02,0.01,0.0) =0.2时=0.206.41a=0.076!(0.0.0.31、0.52.0.14,0.03) 0.N4<p<06时胃=0.203Ma=0.0062M(0.0.0.25.0.42,0.1.0:22) >0.88时=0:200a=0.000(0.00,0.24.0.41,0.11,0.24) 为了进一步分析模型结果,画出H-1.a-μ曲线图(略) 由图可知,H,a是的非增函数,这是由于随着p的增大,,即投资者对风险σ的厌恶程度 增大,风险承受力降低,从而使R.a减小从图中还可看出一个有趣的现象,在=0.768时, o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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