29卷 和σ均发生突变,这是由于在风险超过一定限度时,投资者就会由风险型变为保守型,这比较符合 实际 (二)模型B的求解 对于某一次投资,因M为常数,此时模型B可简化为 S(-P +P1 <0 ∑:;=1,(=0,1,2,…,n) 此模型为单日标线性规划模型,可直接利用Linl软件求解,但为了在n较大时求解方便,我们提 出下述准则以给出更为简便的算法 准则1各资产的授资比列分配由净收益率{从大到小排序 准则2如有资产S和S的净收益率相等,则对应的风险较小的资产优先考虑 现假设各资产投资的净收率排序为1≥以2…≥rN≥≥N+1≥…≥nn 则在分配中,若=+=0,则必有:+1=:+2=…N=:0=:N+1=…=:n=0.X现 用反证法证明准则1 假设A:存在:+1≠0而=0.分两种情况进行讨论 (1)当分配给S和S+1的分配比列值_≤时,此时对于净收率关系式 :K+r÷:≥ 恒成立,即投资比例(:1,2,…,-1,0,:+1…0)不比投资比例(1,÷2,……,-1,:,0,0,0…) 更优 2)当分配给S和+:的分配比例值言>时不妨设汁计+=+计+计,此时 + rack+=A+ 十 则投资比例(1,二2, 0,=+1,0,0…0)不妨投资比例(:1,=2,…,=-1,0,=+1,0,0…0) 更优 由此可见,假定A不成立,即不存在=+1≠0而=0的投资比例为最优 准则2说明:对于净收艺相等的若干种资产,假设投资比例总和为2,在某个M值下,不 管怎样分配,它们所产生的净收益为M、放,即净收益不变,而风险=黑M+两}为取 得更小的风险,我们应尽量将投资放在:+r小的资产上,这样可以得到其它投资比例不变的情况 下风险最小而克净收益不变的最优解 因此上述准则1.准则2是合理的 由上述准则1.2进行编程(程序附录2略))即可求出一系列以δ为上限的最佳投资组合 (三)模型B所得的主要结论 问题2的解 由于问题2中的风险投资种类=15,我们利用模型B进行求解.任意给定6,确定投资风险 a在不超过6情况下的最优投资组合,列表表4-1)、画6-曲线图(略 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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程文鑫等:风险投资分析 0.150.2 300.400.45 R/M|0.2640 0349035903730.3870394 由图可知,随着δ的增加,收益R逐渐增大,投资者可根据自己的偏好,选择满足要求的d和R, 进行有效资产组合投资.考虑到R要尽量大,σ要尽量小,同时分析6-f曲线知,在6<0.08M 时,R随δ急骤上升,这是由于随着δ的增大,人们对风险的厌恶程度减缓,投资者逐渐走向风险 型,而在δ>0.08M时,曲线渐趋平缓,这是由于当d大到一定程度时,风险收益大的资产均已 资,收益变化不大.由于δ变缓范围较广,限于时间不一一例举.在此只给出一个较优的资产组合 R=0.323M,a=0.08M 23=14.1% 12.4 28=19.6% zg=15.4% 210=20.6%,:13=17.9.% 2.一般问题的求解 在此我们利用模型B将问题一和问题二结合在一起考虑,即此时的风险投资种类n=19种, 通过附录川《略)的程序求解R并画出R-0曲线如下: 0.41 0.1436 0.02M0.1M02M0.3M04M0.5M0.6M 曲线图 K-R曲线图 由上图曲线知,曲线可分为三段:i)0<6/M<0.007时,R急骤增大,这是因为随着6 的增大,投资者对风险的厌恶程度降低,即投资者由保守型走向风险型,并且此时只需考虑问题二的 15种投资,故R增大显著.i)u.007<6/M<0.02时,R随6快速增大,这是因为风险的增 加对投资方向的影响减缓.ⅲ)d/M>0.02时,R渐趋平缓 为了研究投资资产的个数K对R的影响,我们取6=0.01,利用模型B分别计算了不同投资 资产数目时的收益,由计算结果可以看出:当资产数目较少时,随着资产数的增加,F迅速增长, 但当K=5时,R几乎与最大收益相等.由此可看出,投资过于分散,并不能增加R.再考虑到 资金管理因素,因此组合投资的数目不宜过多 五、灵敏度分析 1.在模型A,B中,我们假设M1>u:成立,研究此假设的合理性,我们求出满足假设的最小 总投资额M′,此时M:-M′x;P1>V恒成立,故 M=:(=(1- o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 9卷 对于模型A或B来说,当μ或δ变化时,M也随之变化.为此,我们可以通过改变或 6的值,得到一组M/.其结果见表51,表52.从表中结果可以看出:M相对于资金总额很 小,故对模型A和模型的简化是合理的 !020:30050610:7080:1 M'1u410410410110410411u42N143 u5u1|5020:30.35450 M′5152632112N8150165050947 2.一个好的模型不仅只适用于某一具体问题,而且还应对同一类问题有效,因此我们尝试对原 始数据进行修改,以考察模型的适用性.由于银行资产比较特殊,故此我们对银行利率进行改动,我 们选择0、05,0.1,U.15三个数据进行考察 =0.时 0.100.2G7 表53中的数据由模型A计算计算得到,银行利率改变对投资没有响,这主要是因为S、S2 均为高收益低风险资产,从表中看出:银行利率的小幅上涨(相对于S1~;)并不改变投资者 的投资方向 d=(.(15 1050m00.20030.4 120.7 0 8440 4.33 表51中的数据由模型B计算得到,当δ较小时,即投资者对风险承受力较小时,银行利率变 化对投资者影响较大;而当δ较大吋,影响几乎为(.这说明对于冒险型投资者来说银行利率的提高 并不响他们的投资方向 七、模型的优缺点及改进方向(略) 参考文献 陈云贤,证券投论,北京工业大学出版社,北京,12 1]程仕军,系统工程,极大化证券组合的投资收益率,191 欹加礼等,工程运等学,北京工业大学出版社,北京,1NN o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第1期 数学的实践与认识 Vul. 29 No 19年1月 MATIIEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan, 19 99 资产投资收益与风险模型 陈定涛蒋浩肖红英 指导教师:梁元第 四川联合大学,成都61005 编者按本文建立了正确的双目标模型,并且把该模型通过控制总体风险合理地转化为单目标线性规划 问题,还给出了计算结果.文章的特色在于通过计算的收益一风险的一系列解,通过多次函数拟合建 立了收益一风险的函数关系,并且根据函数的导数.二阶导数的性质,结合本题的经济含义,获得了 保守型、温和型、冒险型的区分及较合理的投资区间.分析结论有一定的数为理论依据,而且也较符合 搞要本文应用多日标决策方法建立模型,并通过简化,成为一个单月标线性规划问题计算后得到 了一个合乎公司要求的、净收益尽可能大,而总体风险尽可能小的最优方案,如下所示: 问题的最佳投资方案 项投资的金额 收益 对表二中的数据进行同样的计算和分析,也获得了一个理想的投资方案,从而证明了我们的模型具 有一般性 问题重述(略) 问题分析 木题中的投资问题是利用所给数据,通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案,并推广到 一般情况.下面是实际中要考虑的两点情况. a.在风险一定的情况下,取得最大的收益 ,在收益一定的情况下,所冒风险最小 不同的投资者对利益和风险的侧重点不同,但在一定范围内都是正常的.所以我们只能要求选择 种尽量好的方案.即风险尽量小,收益尽量大,这符合题意和一般投资者的心理 表1给出的四种投资项目各自的平均收益率、风险损失率以及交易费率各不相同,我们先以为 横坐标表示风险.以(n1-)为纵坐标表示收益建立一个粗略的图形.从大体趋势可以看出,q越 大,(r;-D)也越大,即风险越大,期望收益越大同理对表2画出图2,亦可看出同样的趋势.虽 然很粗糙,但符合一般的实际情况 题目中给出交易费的计算数额是一个分段函数,设为l; 在实际计算中, r;>以 不容易处理,但我们注意到,在表1中,m的数值非常小,∑"=103+198+52+40=387 元,对其中最大的1来说,m2=198<200元,而已知M是一笔相当大的资金.同时交易费率 的值也很小.即使在1<时,以来计算交易费与用1直接计算交易费相差无几.所以,后 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 卷 面我们具体计算时,为简化暂不考虑u;的约束,都以x;来代替1计算交易费.这一小的误差将在 后面的讨论中具体加以分析 公司在问题一的情况下可对五种项目投资,其中银行无风险,收益=5%为定值,在投资期间 不会变动、其它投资项目虽都有一定的风险,但收益可能大于银行利率.我们拟建立一个模型,这个 模型对一般投资者都适用.并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案 (把投资者分为一冒险型,温和型与保守型,越积极冒险的人对风险损失的承受能力越强,用c作为指 标来划分 由前面的分析已经知道,风险越大,利益可能越大.所以,利益与风险是一对矛盾,我们根据公 司要求,用多目标划来建模,力求利益大,风险小.寻找一种令公司满意的方案 设计第i种资产投入钱数占总金额M的比例为x;则投资期满所得净收益为∑(x11-1ph)总 风险以;项中所冒风险的最大值来考虑.这是一个二目标线性规划模型 问题二扩大了投资范围、首先我们根据问题一中所建模型对数据计算,取不同的值,得到一组 数据,这与前面的方法相同 我们又对表2中的數据观察,发现数据极一规则,有些项日x1,P的数值明显不符合投资要 求,因而可在计算之前整体优化.即对所给项目粗略去舍,再对剩余项目进行投资.这将在模型的优 化中加以讨论 摸型建立 当该公司对市场上的资产进行投资时,涉及到两个衡量投资方案好坏的标准,也即有两个目标 净收益大;2.风险小 我们设:1为净收益函数 =收回资产时的总资产一投资时的总资产 因此: 又因为此∑(x;+1P)=1(同投资时交易费从中扣去)所以 )其中1= 同时,我们希望,所投第i项中最大风险越小越好.以2表示风险函数 综合以上分析,得出模型:模型4:(双日标决策模型 (2r1-tP) l tr;>0 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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