数学的实践与认识 29卷 其中p∈[0,1 权重数t-∥与p分别表示投资者对净收益大小和总体投资风险两者的重视程度.μ的取值 范围为0,1.p数值越大,表示投资者越重视总体风险的大小,也即希望风险尽可能地小.当p=1 时,表示投资者极端厌恶风险,此时如有无风险的所供资产存在,则这种投资者会毫不犹豫地选取无 风险资产进行投资,如μ为0,则这种为无视投资风险,一味迫求期望净收益 模型的解: 运用参数规划技术得到有效证券组合,为投资决策提供定量的依据.具体计算结果如下 当0<<0.0319时有效证券组合为m=0,1=0.909c=0,x=0,4=0,净收 益0:267:3M,总体风险值为2.475 当0.0319<<0.0411时,有效证券组合为uo=0.t1=0.369,2=0.615,t3=0,4 0,净收益为0.2165M,总体风险值为0.9225 当0.0411<μ<0.0448时,有效证券组合为=0,t1=0.3140,t2=0.5233.ty 01427,14=0,净收益为02106M,总体风险为0.7850 当0.0449<<0.2036时,有效证券组合为u=0.1=0.2376,22=0.3900.= 0.1080,n4=0.2284.净收益为0.2016M,总体风险为0.5940 当0.:20:6<〃<1时,有效证券组合为m=1.t1=2=3=m4=0.净收益为0.05M 总体风险为0 当=0.0319时,净收益为R=0.05+0.253C其中总体投资风险(∈[0,0.5940 当H=0.011时净收益为H=(0.1737+0.0470°()M,其中总体风险C∈[0.5940,0.750 当p=00448时净收益为R=(0.170+0.0428()M其中总体风险C∈[0.7850,0.22月 当=0.2036时,净收益为=(0.1863+0.0327()M其中投资风险('∈[0.925.2.475 同样问题2)求得证券组合情况如表1,2所示 表1偏好系數变化时相应的投资组合 区间u1 1.1u42)1 01050[077140544100770「037004N30rF7 00371000s15002012100s745010705280.10 03600.105650082130073910.1055001170520.132x8 0.0314 0.27460.148830.0326 00238000.100310.0954201320 081200.1714 0.01:30 0010715053060 0.091540.19248 0.0630 0.1280 0 111930.2278N 24 4.2051 1.IS100 一(JL: 如 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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Ⅰ期 王正方等:投资组合与模糊规划模型 13 文益风险值 061280.081650.105:3600.0710 0.19G43.26616 000900182 007s45010159690129/3.6728 0.0183200.11087 00.094 00.242:443491 0.0260.12427 ⊥0180000:26391149708 0.1U7410.14:3130 0.1241610 878M5.725.36 1.120010.6072 309My642878 LS6650.24872 00.2162760 03516M/9.94872 0,424:30 003739M30 040943M56.638 丧2收益与风险的关系 偏好系数(x) 收益与风险关系 风险()M最小应大于的值(元) R=0.15+0.04484C 035=033+404:_(:2036730 6278 H=1.0G84+(.03924C 3673、4435) (4.435,497) 314=010256410182356(4:97,5.725 00238F=117234+02017c6325,642 20136+40156429761 (7611,S:949) 713 R=03085+0.0345C(9.99.12.308 2193 004R=1031476+023X(1.38.16972) 0015R=0399046697230124) 0013R=3294+0136:10124,5604 以上运用偏好系数加杈法得出一系列最优投资组合,下面我们运用模糊线性规划来求解上述偏 好系数加权法依赖于权重的建立,而模糊目标规划则应用模糊隶属函数的概念,首先引入一些符号与 式 k为第k理想目标达成的最高期望;k为第k理想目标达成的最低可接受值 dk为第k理想目标的降低允许范围(变动余地) 与每一个目标有关的是它的模糊隶属函数,它表示为 (Zk< Lk) k(x)=0<m)<1,(Lk<2<k) (2k>1k) 也就是上式能反映一个现实目标的达成度(若完全达成,取1)或(完全未达成,取值),我们令模 糊隶属函数 对模糊模型的任何解来说,我们希望最大化k(x)的最小值,也就是说希望最小化任一现实目标的最 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实 与认识 29卷 坏未达成度,这可以用虚拟变量来描述 于是对本模型,我们可以得到如下模型 I+ tax(iui) 上述分别对问题1)和2)得出的是一个有效解 (tn=0,m1=0.278,2=0.4630.3=0.1263,m4=0.l02)相应的风险值为0.7与 (t="1=2=0.3=0.2606,4=ms=t;=0,m7=0.230、t10=0.:980,21 1=0,=tg=0.m13=0.07645,t14=t1=0)相应的风险值为15.6. 而对它的约束严格性进行松弛,可得到一系列的在不同的投资风险下的最优组合 六、模型的进一步扩展(略) 七、模型的优缺点分析(略) [J'∵伊格尼齐奥(美),单日标和多目标系统线性规划,同济大学出版社,北京,19N 2)李梦琳,证券市场与投资,浙江大学出版社,杭州,193. 3]管梅谷,线性规划,山东科学技术出版社,济南,190 1]胡毓达,实用多目标最优化,上海科技出版社,上海,1 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第|期 数学的实践与认识 Vol 29) No 1年1月 MATHEAA|(SⅠN卩HA("T](EA、D" THEORY Jan. igH! j 投资组合模型 伍仕刚孟宪丽胡子昂 指导教师:数学建模教练组 (杭州电了工业学院,杭州310127) 编者按该文正确建立了数学模型·多标决策模型,用以解决A题的投资组合问题.通过偏好系 数加权法将多日标决策问题化为单标决妏模型—非线性規划,并简化为线性规划问题求解,还用参 数规划技术解出了n=4的详细结果本文的特点在于考率了一个问题:到底M多大时,非线性规 划与其简化形式有相同解?这文中定理给出一个究分条件,可以对于具体向题作出判定,所得简化的 线性规划问题的最优解也是原来非线性规划问题的最优解 摘要本文建立了考虑交易费用情况下的市场资产组合投资模型,并采用偏好系数加杈法对资产的预 期收益和总风险进行评价,给出在不同偏好系数下的模型最优解。然后模型讨论了一般情况下的最优投 资求解力法,给出定理,在总金额大于某一量值时,可化为线性规划求解 问题提出(略 基本假设(略) 市场上可用于投资的资产数;M:投资者拥有的总投资额; r:投资于银行的存款額 对第i(i=1.2,……,n)种资产的实际投资额; :对第i(i=1.2,…,)种资产的投资比重;投资者最终所获得的净收益; (:投资者的风险损失金额; 资产;在该段时期内的预期收益率; :购买资产丶时所需付的交易费率 四、问题分析 由于资产预期收益的不确定性,导致它的风险特性,资产的风险用预期收益率的方差来表示.在 这里,投资S的平均收益为;r;风险损失为rq 要使投资者的净收益尽可能大,而风险损失尽可能小,一个解决办法就是进行组合投资,分散风 险,以期获得较高的收益,模型的日的就在于求解最优投资组合.当然最优投资还决定于人的因素 即投资者对风险,收益的偏好程度,怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 五、模型建立及求解 投资者的净收益为购买各种资产及银行的总期望收益除去在此过程中的交易 在对资产S进行投资时,对于投资金额r;的不同,所付的交易费用也有所 不投资时不 付费,投资额大于t;时交易费为;p,否则交易费为1p,记 U,当 0 当U< (i=1.2.…) (}) 则购买资产S所付的交易费为内·由于投资银行吋勿需交易费,所以总交易费用为∑护投 资者的净收益 E-∑ 在对单个资产进行投资时,风险损失金额为风险损失率与投资数额的乘积.组合投资吋,投资者 所要承担的风险采用所投资产中风险损失金额的最大值来度量,即 Q= Iax rii k 多日标投资决策模型 问题的目标在于使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,根据上面的讨论,可建立存在无风险投 资(即存银行生息)时,资产组合投资决策的名日标数学模型 mx=u+∑r,ls-∑ (0<x;≤;), 0.x;>0.(i=1,2 为便于以后的求解和论证,将日标函数min(变换成等价形式,min(=Q并且附加约束条件 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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