例1.证明方程x-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在I0,1]连续，且 f(0)=1,f1)=-3.由介值定理知存在x∈(0,1)，使 f(x)=0,即方程有小于1的正根x 2)唯一性. 假设另有x1∈(0,1)，≠x,使f()=0,:f(x)在以 X0,为为端点的区间满足罗尔定理条件，在x0,x之间 至少存在一点5，使f'(5)=0. 但f'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真！ HIGH EDUCATION PRESS 0eOC①8 机动目录上页下页返回结束
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 少存在-点5e(a,b,使f5)=fb)-f@ 证：问题转化为证了)-b-@=0 b-a b-a 作辅助函数 P(x)=f(x)-M(b)-f(a)x b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a)-b/a-a/b)=ob,由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5E(a,b),使p'(5)=0,即定理结论成立 .证毕 号HIGH EDUCATION PRESS 拉氏目录上页下页返回结束
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x0,b=x0+△x,则 △y=f'(x+0△x)△x(0<0<1) 推论：若函数f(x)在区间1上满足f'(x)=0,则f(x) 在1上必为常数 证：在I上任取两点，x2(x1<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式，得 f(x2)-f(x)=∫'(5)(x2-x)=0(<5<x2) .f(x2)=f(x) 由1，x2的任意性知，f(x)在1上为常数 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 = 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y = f x0 + x x 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束