parent 第二十七章图形的相似 专题五相似三角形的综合应用
第二十七章 图形的相似 专题五 相似三角形的综合应用
、相似三角形与圆的知识的综合 parent 教材母题(教材Ps第8题) 如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PAAB 解:如图连接ACBC∴AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°,又∵AB⊥CD ∴∠APC=∠CPB=90°,∴.∠CAP+∠ACP=90°,∠BCP+∠ACP=90°,∴ ∠CAP=∠BCP,∴△PCA∽△PBC,∴ PC PA PB PC ∴PC2=PAPB 【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为:把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的等积式或 比例式.特别地,当等积式中的线段的对应关系不容易看出时,也可以把等积式转化为比例式 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
一、相似三角形与圆的知识的综合 教材母题 (教材 P58 第 8 题) 如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝PA·AB. 解：如图，连接 AC，BC，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AB⊥CD， ∴∠APC＝∠CPB＝90°，∴∠CAP＋∠ACP＝90°，∠BCP＋∠ACP＝90°，∴ ∠CAP＝∠BCP，∴△PCA∽△PBC，∴ PC PB＝ PA PC，∴PC2＝PA·PB 【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为：把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或 比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式， 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
parent 变式1(2014陕西)如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点 B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为 (1)求证:AD平分∠BAC (2)求AC的长 解:(1)证明:连接OD,∵BD是⊙O的切线,∴OD⊥BD,∵AC⊥BD,∴OD∥AC, ∠2=∠3,∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC OD BO (2)解:∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴ ACBA’·AC 解得:AC=3
变式 1.(2014·陕西)如图，⊙O 的半径为 4，B 是⊙O 外一点，连接 OB，且 OB＝6，过点 B 作⊙O 的切线 BD，切点为 D，延长 BO 交⊙O 于点 A，过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C. (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)求 AC 的长． 解：(1)证明：连接 OD，∵BD 是⊙O 的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即 AD 平分∠BAC (2)解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴OD AC ＝ BO BA，∴ 4 AC ＝ 6 10，解得：AC＝ 20 3
变式2如图,BD是⊙O的直径,A,C是⊙O上的两点,且AB=AC,AD与BC的延 长线交于点E (1)求证:△ABD∽△AEB:(2)若AD=1,DE=3,求BD的长 E 解:(1)证明:∵AB=AC,∴AB=AC.∴∠ABC=∠ADB,又∵∠BAE=∠DAB,∴△ ABD∽△AEB AB AD (2)∵△ABD∽△AEB,∴ AEAB,∵AD=1,DE=3,∴AE=4,∴AB2=ADAE=1 ×4=4,∴AB=2,∵BD是⊙O的直径,∴∠DAB=90°,在Rt△ABD中,BD2=AB2+ AD2=22+12=5,∴BD=15
变式 2.如图，BD 是⊙O 的直径，A，C 是⊙O 上的两点，且 AB＝AC，AD 与 BC 的延 长线交于点 E. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)若 AD＝1，DE＝3，求 BD 的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴AB ︵ ＝AC ︵ .∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ ABD∽△AEB (2)∵△ABD∽△ AEB，∴AB AE＝ AD AB，∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1 ×4＝4，∴AB＝2，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB＝90°，在 Rt△ABD 中，BD2＝AB2＋ AD2＝22＋12＝5，∴BD＝ 5
二、相似三角形与四边形知识的综合 parent 变式3(2014泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB =∠ACB AB AC (1)求证 AE AD (2)若AB⊥AC,AE:EC=1:2,F是BC中点,求证:四边形ABFD是菱形 解:(1)∵∴AB=AD,∴∠ADB=∠ABE,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB,又 ∵∠BAE=∠CAB,∴△ABE∽△ACB,·ABAC AE=AB,又∵AB=AD, A AC AD (2)设AE=x,:AE:EC=1:2,∴EC=2x,由(1)得:AB2=AEAC,∴AB=√x,又 ∵BA⊥AC,∴BC=23x,∴∠ACB=30°,F是BC中点,∴BF=√x,∴BF=AB= AD,又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,∠ADB=∠CBD=30°,∴AD∥BF,∴四边形ABFD 是平行四边形,又∵AD=AB,∴四边形ABFD是菱形
二、相似三角形与四边形知识的综合 变式 3.(2014·泰安)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB ＝∠ACB. (1)求证：AB AE＝ AC AD； (2)若 AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F 是 BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形． 解：(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又 ∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AB AE＝ AC AB，又∵AB＝AD，∴AB AE＝ AC AD (2)设 AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x，由(1)得：AB2＝AE·AC，∴AB＝ 3x，又 ∵BA⊥AC，∴BC＝2 3x，∴∠ACB＝30°，∵F 是 BC 中点，∴BF＝ 3x，∴BF＝AB＝ AD，又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形 ABFD 是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形 ABFD 是菱形．