parent 第二十六章反比例函数 专题一反比例函数与图形的面积
第二十六章 反比例函数 专题一 反比例函数与图形的面积
G分钟分 知识点梳理 parent 教材母题(教材Pε练习第1题) 已知一个反比例函数的图象经过点A(3,-4 1)这个函数的图象位于哪些象限?在图象的每一支上,y随x的增大如何变化? (2)点B(-3,4),C(-2,6),D(3,4)是否在这个函数的图象上?为什么? 解:(1)因为(3,-4)在第四象限,所以这个函数的图象位于第二、第四象限,在图象的 每一支上,y随x的增大而增大 )设这个反比例函数的解析式为y=k 因为图象经过A(3,-4),所以-4=2,k= 12 ,因为B,C的坐标都满足 ,点D的坐标不满足y=,所以B,C 在函数y=-的图象上,点D不在这个函数的图象上 【规律与方法】反比例函数的几何意义:反比例函数图象上的点(x,y)的 横、纵坐标之积为常数(xy=k),即过双曲线上任意一点,向两坐标轴分别作 垂线,两条垂线与两坐标围成的矩形的面积为常数,即s=k
教材母题 (教材P8练习第1题) 已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ (2)点B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数的图象上？为什么？ 解：(1)因为(3，－4)在第四象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在图象的 每一支上，y 随 x 的增大而增大． (2)设这个反比例函数的解析式为 y＝ k x ，因为图象经过 A(3，－4)，所以－4＝ k 3 ，k＝－ 12，y＝－ 12 x ，因为 B，C 的坐标都满足 y＝ －12 x ，点 D 的坐标不满足 y＝－ 12 x ，所以 B，C 在函数 y＝－ 12 x 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上． 【规律与方法】反比例函数的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的 横、纵坐标之积为常数(xy＝k)，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴分别作 垂线，两条垂线与两坐标围成的矩形的面积为常数，即s＝|k|
parent 变式1.如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,分别过 点A,B向x轴作垂线,垂足分别为D,C若矩形ABCD的面积是8,则k的值为(A) A·12 B.10 C.8 D.6 E h x 变式2如图,点A是反比例函数y=-(x<0)的图象上的一点,过点A作ABCD,使 点B,C在x轴上,点D在y轴上,则口ABCD的面积为(C) A·1 B.3 C.6 D.12 变式2如图,点A是反比例函数y=-(x<0)的图象上的一点,过点A作ABCD使 点B,C在x轴上,点D在y轴上,则ABCD的面积为(C A·1 B.3 D.12
一、反比例函数与矩形的面积 变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝ 4 x 上，点 B 在双曲线 y＝ k x (k≠0)上，AB∥x 轴，分别过 点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 变式 2.如图，点 A 是反比例函数 y＝－ 6 x (x＜0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使 点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( ) A．1 B．3 C．6 D．12 变式 2.如图，点 A 是反比例函数 y＝－ 6 x (x＜0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使 点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( ) A．1 B．3 C．6 D．12 A C C
变式4(2014温州)如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴, AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD 的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例 函数y=(k≠0)中k的值的变化情况是(C) 直增大B.一直减小C·先增大后减小D.先减小后增大 x 点拨:设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,∵矩形ABCD的周 长不变,即4a+4b=4(a+b)为定值,∵ab为定值,k=ab,当a+b 为定值时,a=b时,ab最大,∴k的值在边AB从小于AD到大于AD 的变化过程中,先增大后减小
变式 4.(2014·温州)如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，AB∥x 轴， AD∥y 轴，且对角线的交点与原点 O 重合．在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例 函数 y＝ k x (k≠0)中 k 的值的变化情况是( ) A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 点拨：设矩形 ABCD 中，AB＝2a，AD＝2b，∵矩形 ABCD 的周 长不变，即 4a＋4b＝4(a＋b)为定值，∵ab 为定值，k＝a·b，当 a＋b 为定值时，a＝b 时，ab 最大，∴k 的值在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，先增大后减小． C
parent 变式5(2014聊城)如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2 A3,A4,…,An分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点 P1,P2,P3,P4,…,Pn作P2B1⊥AP1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PBn-1⊥ An=Pn-1,垂足分别为B1,B2,B3,B4…,Bn-1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…, Pn-1Pn,得到一组Rt△PBP2,R△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn-1Bn-1Pn,则 R△Pn-1Bn-Pn的面积为2n(m y 点拨:设OA1=A1A2=A2A3=…=An-2An-1 a,则Pl(a,),P22a,),P3(3a, ∴Rt△ B B PIBP2的面积为=2xa×( 2 ,Rt△P2B2P3的面积为 B O A1 A2 A3 A4 A5 ×a 22a3a ,∴△Pn-1Bn-1Pn的面积 xa1-1 n 2n(n-1)
变式 5.(2014·聊城)如图，在 x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点 A1，A2， A3，A4，…，An 分别过这些点作 x 轴的垂线与反比例函数 y＝ 1 x 的图象相交于点 P1，P2，P3，P4，…，Pn 作 P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn－1⊥ An－1Pn－1，垂足分别为 B1，B2，B3，B4，…，Bn－1，连接 P1P2，P2P3，P3P4，…， Pn－1Pn，得到一组 Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn－1Bn－1Pn，则 Rt△Pn－1Bn－1Pn 的面积为_ _． 点拨：设 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－2An－1 ＝a，则 P1(a， 1 a )，P2(2a， 1 2a)，P3(3a， 1 3a)……∴Rt△ P1B1P2 的面积为＝1 2 ×a×(1 a － 1 2a)，Rt△P2B2P3 的面积为 ＝ 1 2 ×a×( 1 2a－ 1 3a)……，∴△Pn－1Bn－1Pn 的面积＝1 2 ×a×[ 1 （n－1）a － 1 na ]＝ 1 2n（n－1） 1 2n（n－1）