另一方面已知：=P(α,α*)ααdα（自己推一下)(a+nam) = Trlpa+namP(α,α*)lα)(α|d?α a+nam=TrP(α,α*)d?αTr[lα)αla+nam]ZP(α,α*)d2α(nlα)(αla+nam|n)n[ P(α, α") d?αa(αla+nam|a)P(α,α*)α*nαm(αlα)d?α12P(α,α*)α*nαmd? α
12 另⼀⽅⾯ 已知：� = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�+� （自己推一下） �%)�* = �� ��%)�* = �� P � �, �∗ |�⟩⟨�|�+� �%) �* = P � �, �∗ �+� ��[|�⟩⟨�|�%)�*] = P � �, �∗ �+�> ) �|� � �%)�* � = P � �, �∗ �+� � �%)�* � = P � �, �∗ �∗)�* �|� �+� = P � �, �∗ �∗)�*�+ �
2.P-rep和密度算符p之间的关系前面已知，=P(α,α*)ααdα，那么(-βIplβ)=/P(α,α*)<-βααlβ)d2α(aα/β) = -2la/2+βa-2/1B/2故<-βlplβ=-IβI2P(α,α*)e-αβa*-βαdαα=Xα+iyα,β=xβ+iyp坐标变换d2α=dxadyα,βαa*-β*α = 2i(ypXα-xpyα)得(-βlplβ)elBI’ = J[P(Xa,Ya)e-(xa2+ya')]-e2iVga-×βya) . dxadya13
13 2. P-rep和密度算符�!之间的关系 前面已知，� = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�+�，那么 −� � � = P � �, �∗ −�|� �|� �+� �|� = �!. +|,| !%-,∗!. +|-| ! 故 −� � � = �!|-| ! ∫ � �, �∗ �!|,| ! �-,∗!-∗,�+� 坐标变换Z � = �, +��, � = �- +��- �+� = ��,��, ��∗ − �∗� = 2�(�-�, − �-�,) 得 −� � � �|-| ! = ∬[�(�, �,)�!(1# !%2# !) ]·�+"(2$1#!1$2#) · ��,��
(-βlplB)elBI2 = J[P(xa, a)e-(x2+ya")]e2i(yβxa-xβya) dxadya做傅立叶变换：P(α,α*)1e(xa+ya2)[ <-βlplβ)e(xp*+yp") -2i(ygxa-×βya) dxdyβT2P(α,α*) =elal2 J<-βlplβ)elBI2 . e-βα*+β*αd?β（★式要会用）知道了p即可求出P（α,α*）14
14 −� � � �|-| ! = ∬[�(�, �,)�!(1# !%2# !) ]·�+"(2$1#!1$2#) · ��,��, 做傅立叶变换： � �, �∗ = 1 �+ �(1# !%2# !)D −� � � �(1$!%2$!) · �!+"(2$1#!1$2#) ��-��- � �, �∗ = . 4! �|,| ! ∫ −� � � �|-| ! · �!-,∗%-∗,�+� ê 知道了�1即可求出� �, �∗ （ ê 式要会用）
（了解核心结论3.P-rep的几个例子热光场下，βp是玻尔兹曼分布exp[-H/kβT]p = Tr[exp(-H /kgT)]其中H=hv(a+a+1/2)hv(n+)Tr[exp(-knT)] -Z(nlkBTe[n)nhv(n+)hv1Z2kBTKBTe二ehvKBTn1-e15
15 3. P-rep的⼏个例⼦ （了解核⼼结论） 热光场下，�1是玻尔兹曼分布 �1 = exp[−ℋ/�5�] ��[exp(−ℋ/�5�)] 其中ℋ = ℏ�(�%� + 1/2) �� exp − ℋ �5� = > ) ⟨�| � ! ℏ8()9%. +) :%; |�⟩ = > ) � ! ℏ8()%. +) :%; = � ! ℏ8 +:%; 1 1 − � ! ℏ8 :%;
H[n)(nlZnexpkBT故p=hv12KBTohvKBT1-ehhvnKBT[n)nl4exp(kB计算：<n>= Tr[atap]hvhvn(n|n(1 -e-kBT)exp(-?n-nhvnhv(n) = (1 -e-kBT)nexp(-KBn
故 �1 = ∑& =>? ! ℋ (%) |)⟩⟨)| B * ℏ, !(%) - -*. * ℏ, (%) = ∑) 1 − � ! ℏ, (%) exp(- ℏ8)9 :%; )|�⟩⟨�| 计算： <n>= �� �%�� = > ) ⟨�|�1(1 − � ! ℏ8 :%;)exp(− ℏ��1 �5� )|�⟩ � = (1 − � ! ℏ8 :%;)> ) ����(− �ℏ� �5� )