3.P表示和O表示的简单解释正规排列和反正规排列通常情况下，算符0中，a和a+不是按一定顺序排列。正规排列：每一项中，a都在a+的右边0= 0~(a,a+)=ZZCnma+nammn反正规排列：每一项中，a都在a+的左边ZZDnma"a+m0=OAn(a,a+)=nm通过[a,a+]=1调换。例子：0在相干态中平均(α0α）=(α0lα）=αaamα）=α*αm，计算简单7
7 3. P表示和Q表示的简单解释 正规排列和反正规排列 通常情况下，算符�"中，�和�%不是按⼀定顺序排列。 正规排列：每⼀项中，�都在�%的右边 �" ≡ �"& �, �% = > ) > * �)*�%)�* 反正规排列：每⼀项中，�都在�%的左边 �" ≡ �" '& �, �% = > ) > * �)*�)�%* 通过 �, �% = 1调换。 例⼦：�"在相⼲态中平均 Kα �" �⟩ =⟨�|�&|�⟩ = ⟨�|�%)�*|�⟩ = �∗)�* ，计算简单
P表示和Q表示的核心：就是将密度算符p（算符的分布函数变成仅对角元项存在的P（α，α*）或Q（α，α*）（C数的分布函数）同时，对应宏观物理量的算符0需做正规排列或反正规排列(O) = Tr[p] = J P(α,α*)O(α,α*) d2α(0) = Tr[p0] =Q(α,α*)OAN(α,α*) d2αP表示：i适用于偏“经典”的量子态，如热光场、相干态Q表示：i适用于偏“量子”的量子态，如压缩态、Fock态8
8 P表示和Q表示的核⼼：就是将密度算符�1（算符的分布函数） 变成仅对⻆元项存在的�(�, �∗)或�(�, �∗)（C数的分布函数） 同时，对应宏观物理量的算符�"需做正规排列或反正规排列 � = �� �1�" = ∫ �(�, �∗)�&(�, �∗) �+� � = �� �1�" = P �(�, �∗)�'&(�, �∗) �+� P表示：适⽤于偏“经典”的量⼦态，如热光场、相⼲态 Q表示：适⽤于偏“量⼦”的量⼦态，如压缩态、Fock态
二、P-representation (coherent state rep)1.P-rep的定义求算符0(a,a+)期望值(0 (a, a+) = Tr[p0(a, a+)] =ZZCnmTrpa+nammn引入8算符8(α*-a)8(α -a) =exp[-β(α* -at)] exp[β*(α-a)] d?βT2exp[-iβ(α*-at)] exp[-iβ*(α-a)]d2βTL原式=J d?αZnZm CnmTr[ps(α* -at)8(α-a) a+nam)ZNd2αCnmTr[ps(α* - at)8(α -a)α*nαm)mnd?α P(α,α*)O(α, α*)①故P(α,α*) = Tr[ps(α*-at)s(α -a))9
9 ⼆、P-representation（coherent state rep） 1. P-rep的定义 求算符�"(�, �% )期望值 �"& �, �% = �� �1�"& �, �% = > ) > * �)*��[��%)�*] 引⼊�算符 � �∗ − �% � � − � = 1 �+ P exp −� �∗ − �% exp �∗ � − � �+� = 1 �+ P exp −�� �∗ − �% exp −��∗ � − � �+� 原式=∫ �+� ∑) ∑* �)*��[�� �∗ − �% � � − � �%)�*] = P �+�> ) > * �)*��[�� �∗ − �% � � − � �∗)�*] = P �+� �(�, �∗)�&(�, �∗) 故� �, �∗ = ��[�� �∗ − �% � � − � ] ①
D故P(α,α*) = Tr[ps(α*-a)s(α -a))p = P(α,α*)α)α|d2α2P(α,α*) d2α=/Tr [ps(α*-a+)s(α -a)] d?αs(α*-at)s(α-a)dα= Tr[p] = 1需证明①②：（自己会推导）下面，将②带入①10
10 故 � �, �∗ = ��[�� �∗ − �% � � − � ] ① � = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�+� ② P �(�, �∗) �+� = P �� [�� �∗ − �% � � − � ] �+� = �� � P � �∗ − �% � � − � �+� = �� � = 1 需证明①↔②: (自己会推导) 下面，将②带入①
①P(α,α*) = Tr[p(α*-at)s(α -a)2p = J P(α,α*)[α)(αd2α证明①②：将②带入①（自己推一下）P(α,α*) = Tr[/ P(β,β*)Iβ)βId2β8(α* - at)8(α -a))d?β P(β,β*)Tr[lβXβ|8(α* -a)8(α -a)=Jd2βP(β,β*)<βI8(α* -a+)S(α-a)Iβd2βP(β,β*)s(α*-β*)(βIβ)S(α-β)d2βP(β,β*)s(α* -β*) (α-β)= P(α,α*)11
11 证明①↔②: 将②带入① （自己推一下） � �, �∗ = ��[P � �, �∗ �⟩⟨� �+� � �∗ − �% � � − � ] = P �+� � �, �∗ ��[ �⟩⟨� � �∗ − �% � � − � ] = ∫ �+� � �, �∗ ⟨�| � �∗ − �% � � − � |�⟩ = P �+� � �, �∗ � �∗ − �∗ ⟨�|�⟩� � − � = P �+� � �, �∗ � �∗ − �∗ � � − � = � �, �∗ � �, �∗ = ��[�� �∗ − �+ � � − � ] ① � = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�,� ②