°9.2 例9.2设4为任意集合,则P(4)≈{0,1}4 证明构造f:P(4)→{0,1}, 复习其中x是集合A的特征函数 (1)易证∫是单射的。 (2)对于任意的g∈{0,1}4, 那么有g:A→{0,1}。令 B={xx∈A∧g(x)=1} 则Bc4,且xB=g,即彐B∈P(4),使得fB)=g 所以∫是满射的 由等势定义得P(4){0,1}4
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A 。 构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A，A∈P(A)。 其中A是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A， 那么有 g：A→{0,1}。令 B={x| x∈A∧g(x)=1} 则BA，且B =g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。 由等势定义得P(A)≈{0,1}A 。 例9.2 证明 复习
°等势的性质 定理91设A,B,C是任意集合, (1)A≈A。 (2)若A≈B,则B≈A。 (3)若A≈B,B≈C,则A≈C 证明(1)是从到的双射,因此4A (2)假设A≈B,存在∫:A→>B是双射, 那么f1:B→)A是从B到4的双射,所以B≈A (3)假设AB,B≈C,存在∫:A->B,g:B>C是双射, 则fog:A>C是从A到C的双射。 所以A≈C
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。 （2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。 （3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。 等势的性质 证明
°若干等势合 日N≈Z≈Q≈N×N 日R≈[0,1]≈(0,1) 口任何的实数区间(开区间、闭区间以及半开半闭的区间) 都与实数集合R等势。 口问题:N和R是否等势?
q N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N q R ≈ [0,1] ≈(0,1) q 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半开半闭的区间） 都与实数集合R等势。 q 问题：N和R是否等势？ 若干等势集合
°康托定型 定理92康托定理 (1)N≈R (2)对任意集合A都有A≈P(4) 分析 (1)如果能证明N≠[0,1,就可以断定N≈R 只需证明任何函数f:N→0,1都不是满射的。 构造一个[0,1区间的小数b,使得b在N中不存在原像。 (2)任取函数f:A→P(4),构造B∈P(4),使得B在A中不存在 原像。 或者使用反证法
（1）如果能证明N [0,1]，就可以断定N R。 只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。 构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。 （2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。 或者使用反证法。 定理9.2 康托定理 （1）N R。 （2）对任意集合A都有A P(A)。 康托定理 ≈ ≈ ≈ ≈ 分析
°康托定型 (1)首先规定0,1中数的表示。 对任意的x∈0,1,令x=0.xx2, (0<x;<9) 注意:为了保证表示式的唯一性,如果遇到0.24999.,则将x表 示为0.25000. 设fN0,1是从N到[0,1的任何一个函数。/的所有函数值为: f(0)=0.a1(a2(, f(1)=0.a122 fn-1)=0.a1()a2) 令p的表示式为0.b1b2,并且满足b≠a,12,… 则y∈|0,1,但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。 即不是满射的。所以,N≠R
（1）首先规定[0,1]中数的表示。 对任意的x∈[0,1]，令x = 0.x1x2… , （0 ≤ xi ≤ 9） 注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到0.24999…，则将x表 示为0.25000…。 设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为： f(0)=0.a1 (1)a2 (1)… f(1)=0.a1 (2)a2 (2)… … f(n1)=0.a1 (n)a2 (n)… … 令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。 即f不是满射的。 所以，N R。 康托定理 ≈