第6章代数系统 2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种:解析公式和运算表 解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如 fa) +j i+j<k i+j-ki+j≥k 运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算,特别 当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时,借 助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外,运算表还 便于对二元运算的某些性质进行讨论,更形象地了解二元 运算的有关特征 设N=1012,3},N4上的模4加法+可以用运算表表示, 它的运算表如表6.1所示。N4上的模4乘法ⅹ也可以用运算 表表示,它的运算表如表62所示
第6章 代数系统 2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。 解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如 f(a)= ， a 1 + − + + + + = i j k i j k i j i j k i j k 运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别 当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借 助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还 便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元 运算的有关特征。 设N4 =0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示， 它的运算表如表6.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算 表表示，它的运算表如表6.2所示
第6章代数系统 表61 表62 40 0 330 x0 00 0 123 2230 23 230 23 000 2 23 20202 30321
第6章 代数系统 表6.1 +4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 表6.2 × 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
第6章代数系统 6.1.2代数系统 定义612一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的 运算*1*12…,*所组成的系统称为一个代数系统,记作 <4 根据定义6.1.2,一个代数系统需要满足下面两个条件: ①有一个非空集合A ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要 素,缺一不可 【例63】设B是一个集合,A=P(B)是4幂集合。集合的 求补运算是A上的一元运算,集合的并和交运算是A上的是二 元运算。于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统,该代数系常称 为集合代数 【例64】设R10}是全体非零实数集合,*是R10}上二 元运算,定义为:ab∈R30},a*b=b。则<R10*>是代 数系统
第6章 代数系统 6.1.2代数系统 定义6.1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的 运算∗ 1 , ∗2 ,…, ∗k 所组成 的系统称为一 个代数系统， 记作 <A, ∗1 , ∗2 ,…, ∗k>。 根据定义6.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要 素，缺一不可。 【例6.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的 求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二 元运算。于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称 为集合代数。 【例6.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二 元运算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则<R-0, *>是代 数系统
第6章代数系统 62二元运算的性质 62.1运算的基本性质 1.交换律 定义62.1设*是非空集合A上的二元运算,如果对于任意 的ab∈A,有a*b=b*,则称二元运算*在A上是可交换的,也 称二元运算*在A上满足交换律 例如,设R为实数集合,对于任意的a,b∈R,规定 a*b=(a-b)2 gob=a2 +b2 a'b=a+6-ab 则运算*、。和·都是可交换的 2结合律 定义622设*是非空集合A上的二元运算,如果对于任意 的a,b,C∈A,有(a*b)米C=a米(b*C),则称二元运算*在A上是可结 合的,也称二元运算*在A上满足结合律 返回章目录
第6章 代数系统 6.2 二元运算的性质 6.2.1运算的基本性质 1.交换律 定义6.2.1 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也 称二元运算*在A上满足交换律。 例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定 a∗b=(a–b) 2 a∘b=a2+b 2 a·b=a+b–ab 则运算∗、∘和·都是可交换的。 2.结合律 定义6.2.2 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结 合的，也称二元运算∗在A上满足结合律 返回章目录
第6章代数系统 实数集合上的普通加法和乘法是二元运算,满足结合律; 矩阵的加法和乘法也是二元运算,也满足结合律;向量的内 积、外积是二元运算,但不满足结合律 【例65】设*是非空集合A上的二元运算,定义为: yab∈A,a*b=b。证明运算*是可结合的 证明:对于任意的a,b,C∈A, 有(a*b)*C=C,而a*(b*C)=a*C=C,故有(a*b)米*C=a米(b米C), 即运算*是可结合的。 当二元运算*在A上适合结合律时,在只有该运算符的表 达式中,表示运算顺序的括号常被省略。所以将(x*y)米 =x米(y米2)常写成x*米。这样,可以令 =*米∴*
第6章 代数系统 实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律； 矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内 积、外积是二元运算，但不满足结合律。 【例6.5】设*是非空集合A上的二元运算，定义为： a,bA，a∗b=b。证明运算*是可结合的。 证明：对于任意的a,b,cA， 有(a∗b)∗c=c，而a∗(b∗c)=a∗c=c，故有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)， 即运算∗是可结合的。 当二元运算*在A上适合结合律时，在只有该运算符的表 达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将(x*y)*z =x*(y*z)常写成x*y*z。这样，可以令 n个 n a = a a a