(5若对Ⅶm≥1,有同n2一am1≤1an1-an,证明回n}收敛 10.试证: lim cos-cos…cos X sInx 11.利用单调有界定理求证下列极限 (1)求数列a (2n-D)!(n=1,2,…)的极限 (2)设数列{xn}满足x1<1,且(2-xn)xn+=1,求lmxn (3)证明数列x=(1+5人 1+120)收敛 12.设an>0(n=1,2,…)且iman=a,证明: (1)lim- 1+1+.+1 (2) limay a2…an=a 13.设an>0(m=1,2,…)且lma址=a,证明: lim van 14.设{n}为单增数列,Sn=当+a“+a,试证:若 lim s=a,则 lim a=a 例题: 例1.试证:xn=1++…+--ln收敛(其极限值称为欧拉常数) k (1-lne)=0 注意1+-严格增且趋于e
·14· (5)若对 n ≥1，有 n 2 n 1 a a + + − ≤ n 1 n 1 a a 2 + − ，证明 an 收敛. 10．试证： n n x x x sin x lim cos cos cos → 2 4 x 2 = . 11．利用单调有界定理求证下列极限 (1)求数列 n n! a (2n 1)!! = − (n=1，2，…)的极限. (2)设数列 xn 满足 x 1 1 ，且 ( ) 2 x x 1 − = n n 1+ ，求 n n lim x → . (3)证明数列 n 2 n 1 1 1 x 1 1 1 2 2 2 = + + + 收敛. 12．设 n a 0 (n=1，2，…)且 n n lim a a → = ，证明： (1) n 1 2 n n lim a 1 1 1 a a a → = + + + ， (2) n 1 2 n n lim a a a a → = . 13．设 n a 0 (n=1，2，…)且 n 1 n n a lim a a + → = ，证明： n n n lim a a → = . 14．设 an 为单增数列， 1 2 n n a a a S n + + + = ，试证：若 n n lim S a → = ，则 n n lim a a → = . 例题： 例 1．试证： n 1 1 x 1 ln n 2 n = + + + − 收敛(其极限值称为欧拉常数). 证： n n n k 1 k 2 1 2 3 n 1 k 1 x ln ln k 1 2 n 1 k 1 k 1 n = = = − = − + − − − 而 ( ) k 1 1 k 1 1 1 ln 1 ln 1 1 ln e 0 k 1 k 1 k 1 k 1 k − − = − + − = − − − − (注意 k 1 1 k + 严格增且趋于 e) ∴ x 0 n ，(n=1，2，…)
+In 0 1 n+1 n+l :{1+1)且-e当n→时) 可见{xn}为单调减少,且有下界的数列,所以收敛 记其极限值为C,故有 例2.设0<a1<b1,an= √anbn-(n=2,3,…),试证{an}单增, {bn}单减,且有相同的极限 证:①先证an≤bn 由a1=2n-b=22nb bnL≤1立明 b。(an1+bn)√ an-bn-l a21+bn-1 ②次证{an}↑ n+1=an ③再证{bn}↓ H=√anbn≤√b,bn=bn 从而有a1≤an≤bn≤b,(m=1,2,…) →{an},{bn}都收敛,设 lim a=a, lim b=b →b>0 ④后证a=b 在bn=√anbm中令n→得b=ab √6(6-a)=0,b≠0∴a=b 例3.证明施笃兹( stolz)定理 设1)ym>yn(m=1,2,…)2)lmyn=+03)lm-n=a
·15· 又 n 1 n 1 n 1 n 1 1 x x ln 1 ln 1 0 n 1 n 1 n 1 n + + − = + = − + + + + (∵ n ! 1 1 n + + ↘且→e(当 n→∞时)) 可见 xn 为单调减少，且有下界的数列，所以收敛. 记其极限值为 C，故有 n 1 1 lim 1 ln n C → 2 n + + + − = . 例 2．设 0 a b 1 1， n 1 n 1 n n 1 n 1 2a b a a b − − − − = + ， b a b n n 1 n 1 = − − (n=2，3，…)，试证 an 单增， bn 单减，且有相同的极限. 证：①先证 n a ≤ n b 由 ( ) n n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 a 2a b 2 a b b a b a b a b − − − − − − − − − − = = + + ≤1 立明. ②次证 an ↑ 2 n n n n n n 1 n n n n n n 2a b a b a a a a a b a b + − − = − = + + ≥0 ∴ n 1 a + ≥ n a ③再证 bn ↓ b a b n 1 n n + = ≤ b b b n n n = 从而有 1 a ≤ n a ≤ n b ≤b1，(n=1，2，…) a n ，bn 都收敛，设 n n lim a a → = ， n n lim b b → = . b>0 ④后证 a=b 在 b a b n n 1 n 1 = − − 中令 n → 得 b ab = b b a 0 ( − =) ， ∵ b 0 ∴ a b = . 例 3．证明施笃兹(stolz)定理. 设 1) y y n 1 n + (n=1，2，…) 2) n n lim y → = + 3) n n 1 n n n 1 x x lim y y − → − − − = a
证:对 ,丑N,当n>N时有 -1_E 于是下面的分数 N+2-XN+1 y 都在a-二和a+二之间,从而 yn-y 一-a 可得 由上知,当n>N时,右端第二项小于E 又当n→∞时,第一项→0,故彐N"≥N,当n>N时,第一项<一,于是,当n>N 时,有 注1:若将条件3)改为im-=+(或-∞),结论仍然成立 n→yn-yn-1 注2:(型solz定理)
·16· 则 n n n 1 n n n n n 1 x x x lim lim a y y y − → → − − = = − . 证：对 0，N ，当 n N 时有 n n 1 n n 1 x x a y y 2 − − − − − . 于是下面的分数 N 1 N N 1 N x x y y + + − − ， N 2 N 1 N 2 N 1 x x y y + + + + − − ，…， n 1 n 2 n 1 n 2 x x y y − − − − − − ， n n 1 n n 1 x x y y − − − − 都在 a 2 − 和 a 2 + 之间，从而 n N n N x x a a 2 y y 2 − − + − 即 n N n N x x a y y 2 − − − 又 n N N N n N n n n n N x x ay y x x a 1 a y y y y y − − − = + − − − 可得 n n x a y − ≤ N N n N n n N x ay x x a y y y − − + − − 由上知，当 n N 时，右端第二项小于 2 . 又当 n → 时，第一项→0，故 N' ≥N，当 n N 时，第一项 2 ，于是，当 n N 时，有 n n x a y − . ∴ n n n x lim a → y = . 注 1：若将条件 3)改为 n n 1 n n n 1 x x lim y y − → − − = + − (或 − )，结论仍然成立. 注 2：( 0 0 型 stolz 定理)
设对一切充分大的n,{bn}严格递减,且iman=lmbn=0,若lm=a存在, 则Imn也存在,且 lim-= lim -n-ant n→,① n→ab 证:设lman-ant=S,则对v>0,彐N,当n>N时有 S-8< S+ (S+ε)(bn-ba+) 把上式中n改为n+1,n+2,…,n+p-1,并把结果相加得 (S-s)(bn-bn+p) <a.-a p <(S+E)(b,-bn+p 当p→∞时,上式取极限得 (S-8)bn≤an≤(S+E)bn 故当n>N时,有 lin 注3.应用 stolz定理立得 (1)若 lim a=a,则1m2+a2++a=a n→0 (3)若lim(an4-an)=a,则limn=a (4)设有两个数列{an},{bn}且bn>0,lim∑b=+ n→a 则有lm a1+a2+…+a = In n→b1+b,+…+ n→① (5)设ak>0,lim imbn=b,则
·17· 设对一切充分大的 n，bn 严格递减，且 n n n n lim a lim b 0 → → = = ，若 n n 1 n n n 1 a a lim b b + → + − − 存在， 则 n n n a lim → b 也存在，且 n n n 1 n n n n n 1 a a a lim lim b b b + → → + − = − . 证：设 n n 1 n n n 1 a a lim S b b + → + − = − ，则对 0 ，N ，当 n N 时有 n n 1 n n 1 a a S S b b + + − − + − ( )( ) ( )( ) S b b a a S b b − − − + − n n 1 n n 1 n n 1 + + + 把上式中 n 改为 n+1，n+2，…，n+p-1，并把结果相加得 (S b b a a S b b − − − + − )( n n p n n p n n p + + + ) ( )( ) 当 p → 时，上式取极限得 ( ) S b − n ≤ n a ≤ ( ) S b + n 故当 n N 时，有 n n a S b − ≤ . ∴ n n n a lim S → b = . 注 3．应用 stolz 定理立得 (1)若 n n lim a a → = ，则 1 2 n n a a a lim a → n + + + = . (2) k k k k 1 n 1 2 n lim n → + + + + (k≥0) 1 k 1 = + . (3)若 ( ) n 1 n n lim a a a + → − = ，则 n n a lim a → n = . (4)设有两个数列 an ，bn 且 b 0 n ， n k n k 1 lim b → = = + ， 则有 1 2 n n n n 1 2 n n a a a a lim lim → → b b b b + + + = + + + . (5)设 k a 0 ， n k n k 1 lim a → = = + ， n n lim b b → = ，则
(6)设{xn}满足xn-xn2→0n→∞),则 lim :0 (7)设数列{sn},令8 So+s1+……+S (n=0,1,2…) 对n≥1,再设an=Sn-Sm1,证明: 若 lim na=0,且{6n}收敛,则sn}也收敛,且 lim s= lim s (提示:∵Sn-6n=-,∑Kak,再用stoz定理) (8若 lim a.=a,则Im21+2++m (9)若 lim a=a则lima1+2a2+…+nan=a 例4.证明:im(1+++…+-)=e 证:记xn=(+4y=1+n1+mn-1(+…+(4y (1--)+(1--)1-二)+…+,(1--)…(1 n 2!n (1-一)(1--)…(1 固定k,令n→+∞,在上式两端取极限 于是当k=n时
·18· 1 1 2 2 n n n 1 2 n a b a b a b lim b → a a a + + + = + + + . (6)设 n {x } 满足 x x 0(n ) n n 2 − → → − ，则 n n 1 n x x lim 0 n − → + = . (7)设数列 n {s } ，令 0 1 n n s s s ,(n 0,1,2, ) n 1 + + + = = + 对 n 1 ，再设 n n n 1 a s s = − − ，证明： 若 n n lim na 0 → = ，且 n { } 收敛，则 n {s } 也收敛，且 n n n n lim s lim → → = . (提示： n n n k k 1 1 s Ka n 1 = − = + ，再用 stolz 定理) (8)若 n n lim a a → = ，则 1 2 n n a 2a na lim a → 1 2 n + + + = + + + . (9)若 n n lim a a → = 则 1 2 n 2 n a 2a na a lim → n 2 + + + = . 例 4．证明： n 1 1 1 lim (1 ) e → 1! 2! n! + + + + = . 证：记 n 2 n n 1 1 n(n 1) 1 1 x (1 ) 1 n ( ) ( ) n n 2! n n − = + = + + + + = 1 1 1 1 2 1 1 k 1 2 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n k! n n − + − + − − + + − − 1 1 2 n 1 (1 )(1 ) (1 ) n! n n n − + + − − − 1 1 1 1 2 k 1 2 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! n k! n n n − + − + + − − − 固定 k，令 n → + ，在上式两端取极限 1 1 1 e 2 2! 3! k! + + + + 于是当 k=n 时