《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 定理2、（比较审效法）设正项级数∑“、∑y,则 (1)若un≤.(n),且∑y.收敛，则∑u。也收敛： 2若，≥(n),且∑y.发教，则∑4，也发教。 证：1)四为立.收敛，由定理1，部分和亿}有解，即T,≤M(n):又因为么，≤对所有 的n都成立，且，的部分和为S,则 Sn=4+4++n≤y+%+…+。=Tn≤M 表明部分和数列S,}有界，从而由定理1，级数∑4枚敛： 注：实际上定理2中的不等式只要从菜个N开始满足即可。 侧2时论p-气数空行的族款性， 解：已如调版款空岩是发教的：由的1可知，当p>时，级数空》放数：故只风右考多p 的情形。当n<1时，<m,市>片根据定理2，当p<1时纸款三》发放，由光得封重 的站货数 例3、利用一级数的敛散性以及比较审敛法，判别下列级数的敛散性。 1 2am+切 n+2 台nn+) 解：分：p=21,所以款站：空行：P1,所以线数空行发： 含0用5n京p1,做板款空行林：根据比较审效法 1 1 11 饭数空+n心 1一也收： 三品品-片p叶，线杂碧，家北发车我击数款 第6页一共32页 惠床安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 例4、月比蚁许审线法制别以下领数的做教性：立女s如子，三血瓜。 新：利周不等式s血x国，1号：有：s如≤子=原，公比为g非<1的等比板 数立孕是报放的，根据比较审级法，复款立：©如子也放微： 子65宁等比饭款分光报线的，根第比俊甲线法，板款宁面6色收数。 台2” 教论、（化做法的城限影式）镜正项纸数2、立，且m受=山，则 当0≤1<时，24、2同袋核： 2当1=0时，由∑y收敛可以得到∑“，也收敛： 3当1=+0时，由∑y,发教可以得到∑4，也发散。 运：登=，由报限的交义ve>0,3,当a>N时，总-水ke,脚1-e<总<1+e, 0-ey。<.<+Ey 如果立散数，不持设G行，明<0：6城<兰(>N).甲，兰， “<…发货，则，也收敛，则么成货，由比较审纸法，复数立0 收敛，由性质，收数： 如果公发教，不纷设1-8>行，<%0-，(n>N),即， <“…立发款，则三，也发教，则三发载，由比酸审铁法，饭数立u 发款，由性质公，发数。 第7页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 例5、讨论级数2sm上与∑l+力)敛教性. :老时m,+小→0以利内f=10之 立m与同数款，回为空引发数，故空如色发散： n 三+宁与宁网数2字：空0+中地数 网6，为泰空。a0)物我 :0<a1时，以=710：a1时，=-0： 0as1时，么+发款：0>1时，+7微数 定理3、（化位审线法，达期员尔料别法）设空是正项板数，巴=P, p<1时，板数技数：2p>1（钱血=)时，饭款发教。 证：=会0，由规限的定义：VG>0,3V,m>N时，-pK8,或m>N时。 p-6p6 1们p<1时，可以进择e,使得p+e=a<1，,从而41<a,n>N时，即 ux<aux,uv<au<au,ux<a'us,... 级数∑auw=山，∑a是公比a<1的等比级数，从而∑auw收敛，根据比较审敛法，饭数 山+山w+3+…收敛，由性质级数∑，收敛。 注：①如果P=1,则比值审敛法失效，可改用定理1或2进行判别： ②用比值审敛法时，必须求出比值的极限P,再根据P进行判别。 第8页一共32页 泰承安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 的7节纸空学空品 a+)的线散性。 ，=2"+ 2n° ”-1 n-1 n+n++W+2 timlim (n+D(+1 nnm+D四m-n+2)=5m0-+) 2 1 比值法失效，改用比较法判别： 2”ada8以空，w空品 n-1 n-I 1 故原领数乞刀=1发数。 台n(n+l) 注：错解：1= n2 +万收致。 定理4、（根值审敛法，柯西判别法）设∑4，是正项级数，m=P 1)p<1时，级数收致：2p>1时（或im=∞）时，级数发散。 温：①可以证明，如果血会一小.则达有▣面-1，表明北值法夫黄时不可荐用振位 ②以上的各种判别法，只适用于正项级数，且各自有一定的适用范围，但也有其局限性。可 以进一步建立更为有效的审敛法，此过程可以无休止的进行下去，但判别的过程也将越发 复杂。 二、绝对收敛与条件收敛 定义、设∑“，为任意项级数，如果正项级数∑4，收敛，则称级数∑“，为绝对收敛：如果 正项级数∑山，发散，但级数∑山，本身收敛则称级数∑山。为条件收敛。 第9页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 创带快空学是香他时 解：版款立9是-个任意项纸数，时于正项板款立吗巴1，国为有四5分，两 收载，根据正项纸数的比散审发法，立收益，由定义，战数立吧为绝对收位。 定理5、绝对收敛的级数自身一定收敛，即如果级数∑山，收敛，则级数∑4，一定收敛。 温：将版空，活中-u-化28的中空是三：因 为颜数“，|敢教，故由正项级款的比较审敛法。级数，股教，且∑2枚纸：根据性质 “收敛级数的提项和构成的级数仍然收级”，可知级数∑(2，-u,D收敛，即∑4，收数。 注：①根据定理5，对于绝对收敛的级数，只需要使用正项级数的审敛法即可，从而相当的 一类级数的敛散性的讨论转为正项级数敛散性的讨论。 ②一般如果∑4，发散，推不出级数∑山，一定发散：但是如果∑山，的发散性是用根值法或 比位法骑之的，是时可以山空以发数拉始空，发数：例，因为回->1，所以 交u发数，对ve>0,议，当n>N时，侣p水，中p-ep+e:由于 >1,可以取道当的，使得p-e>.即>p->1,浅以.从百>N时。 利，}单调增加，因此im,≠0，必有im,≠0：根据级数收敛的必要条件∑4，发散。 ③绝对收敛的级数的许多性质是条件收敛的级数所不具备的，如任意调整原级数中项的位置 后的新级数仍然收敛，且和不变：两个绝对收敛的级数的柯西乘积所组成的新级数仍然绝 对收敛，且其和为原来的两个级数的和的乘积。 三、交错级数审敛法 交错级数：4-4+4，-山+…+(-)-4+…=∑(-)-4。，其中4，>0，n: 第10页一共32页 票来安