3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵a12d2a2给出倒 点阵b1,b2,b3现假定b,b2b3为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 2兀(b×b) c2=b·(b2×b) 利用三重矢积公式:AX(BXC)=B(A·C)-C(A·B) 可以得到:b2xb 2丌 2丌 (a2×a1) a1×a Qa(×a·a2)-a2(2x)12 丌 g2.Q=b·(b2×b2)g=(2n)(a·h)=(2n) 2 2丌 同样可以证明:c2=a2c3=a3(练习)
3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵：由正点阵 给出倒 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒点阵根据定义为： 1 2 3 a ,a ,a 1 2 3 b ,b ,b 1 2 3 b ,b ,b ( ) 2 1 * 2 3 c b b × Ω = π ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 * a a a b b b Ω = • × Ω = • × 利用三重矢积公式： A (B C) B(A C) C(A B) × × = • − • 可以得到： ( ) 1 1 2 1 * 2 2 c a a = Ω Ω = π π 3 1 1 2 1 2 3 * Ω ⋅Ω = b • (b ×b )⋅Ω = (2π ) (a •b ) = (2π ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a a a a a a b b a a a a Ω × • − × • = Ω = × Ω × × Ω × = π π π π 同样可以证明： 2 2 3 3 c a ,c a = = (练习)
4.布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢b,b2,b2围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区( Brillouin zone)
4. 布里渊区 在固体物理中，很少使用由倒点阵基矢 围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞，而总是采用倒点阵的W-S初基元胞，因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 1 2 3 b ,b ,b 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区 (Brillouin zone)
5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设g为正格子的一个点群对称操作,即当R1为一正格矢时,gR1也为正格 矢,同样g-1R1也是正格矢 由于R·R1=2 Kn·g-1R1=2mn 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即 gKn·gg-1R1=gKn·R1=2mn 这样,对群中任一操作g,gR和g-1Kn也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性 正空间中wS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的WS原胞(第1布里渊区)也具有晶 格点群的全部对称性
5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设g为正格子的一个点群对称操作，即当𝑅𝑅𝑙𝑙为一正格矢时，𝑔𝑔𝑅𝑅𝑙𝑙也为正格 矢，同样𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙也是正格矢。 由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢量 受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即： 由于 这样，对群中任一操作𝑔𝑔 ， 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ和𝑔𝑔−1𝐾𝐾ℎ 也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞，具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第1布里渊区）也具有晶 格点群的全部对称性。 𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝐾𝐾ℎ � 𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ � 𝑔𝑔𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛
6.正点阵晶面族(h1,h2,h2)与倒点阵格矢an相互垂直, G=(h11+h2b2+h3b3)且有: 2丌 Lhih2n3 Gn 证明:n=(h1b1+h2b2+h3b3 与正格子的晶面系(h1h2h2)正交 如图所示,晶面系(h2h2h3)中最靠近原点的晶面(ABC) 在正格子基矢a122,a3的截距分别为 h, h2h3 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图
6. 正点阵晶面族 与倒点阵格矢 相互垂直， 且有： ( , , ) h1 h2 h3 证明： 与正格子的晶面系 (h1,h2 ,h3 ) 正交。 如图所示，晶面系(h1,h2 ,h3 )中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 a1,a2 ,a3 的截距分别为： 3 3 2 2 1 1 , , h a h a h a 𝐺𝐺 ⃗ ℎ 𝐺𝐺 ⃗ ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3) 𝑑𝑑ℎ1ℎ2ℎ3 = 2𝜋𝜋 |𝐺𝐺 ⃗ ℎ| 𝐺𝐺 ⃗ ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3)
于是 CA=OA-OC h B CB=OB-OC h1h23 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图 (+B2+)(a-3)=2-2z=0 (练习)同理Gn·CB=0而且CA,CB都在(ABC)面上, 所以an与晶面系(h1,h2h3)正交
于是： 3 3 1 1 h a h a CA OA OC = − = − 3 3 2 2 h a h a CB OB OC = − = − ( ) ( ) 2 2 0 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 + + • − = − = • = π π h a h a h b h b h b G h h h CA 同理 𝐺𝐺 ⃗ ℎ � 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 0 而且𝐶𝐶𝐶𝐶，𝐶𝐶𝐵𝐵 都在（ABC)面上， 所以 𝐺𝐺 ⃗ ℎ 与晶面系 (ℎ1, ℎ2, ℎ3) 正交。 (练习)